ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 9.30 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Через две образующие конуса проведено сечение, угол между плоскостью сечения и плоскостью основания конуса равен \(\alpha\). Угол между образующей и плоскостью основания равен \(\beta\), а радиус основания конуса равен \(R\). Найдите площадь этого сечения.

Пусть \(S_{AFE}\) — площадь сечения. Сечение — треугольник с основанием \(FE\) и высотой \(d\).

Тогда \(S_{AFE} = \frac{1}{2} d \cdot FE\).

Из геометрии конуса и углов имеем

\(S_{AFE} = \frac{R^2 \tan \beta \sqrt{1 — \tan^2 \beta \tan^2 \alpha}}{\sin \alpha}\).

Пусть нам нужно найти площадь сечения конуса, которое проходит через две его образующие. Обозначим эту площадь через \(S_{AFE}\). Сечение через две образующие представляет собой треугольник с вершиной в вершине конуса \(A\) и основанием \(FE\), лежащим на плоскости основания. Для вычисления площади этого треугольника нам нужно знать длину основания \(FE\) и высоту \(d\), опущенную из вершины \(A\) на сторону \(FE\).

Высота \(d\) сечения связана с углом \(\alpha\) между плоскостью сечения и плоскостью основания конуса. При этом угол \(\beta\) — это угол между образующей и плоскостью основания. Радиус основания конуса равен \(R\). Из геометрических соотношений для конуса и заданных углов можно выразить длину \(FE\) и высоту \(d\) через \(R\), \(\alpha\) и \(\beta\). В частности, основание \(FE\) и высота \(d\) связаны с тангенсами этих углов.

Таким образом, площадь сечения вычисляется по формуле \(S_{AFE} = \frac{1}{2} d \cdot FE\). Подставляя выражения для \(d\) и \(FE\), получаем окончательную формулу: \(S_{AFE} = \frac{R^2 \tan \beta \sqrt{1 — \tan^2 \beta \tan^2 \alpha}}{\sin \alpha}\). Эта формула учитывает взаимное расположение плоскостей и размеры основания конуса, позволяя точно найти площадь требуемого сечения.