ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 9.31 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Через две образующие конуса, угол между которыми равен \(\alpha\), проведено сечение. Угол между плоскостью этого сечения и плоскостью основания конуса равен \(\beta\). Найдите площадь боковой поверхности конуса, если его высота равна \(H\).

Пусть \(l\) — образующая конуса, \(H\) — высота, \(\alpha\) — угол между образующими, \(\beta\) — угол между плоскостью сечения и основанием.

Площадь боковой поверхности конуса равна \(S_{\text{бок}} = \pi n l\).

Образующая \(l\) выражается через высоту и угол: \(l = \frac{H}{\cos \frac{\alpha}{2}}\).

Учитывая угол \(\beta\), площадь боковой поверхности вычисляется по формуле

\(S_{\text{бок}} = \pi H \frac{\sqrt{1 — \sin^2 \beta \cos^2 \frac{\alpha}{2}}}{\cos^2 \frac{\alpha}{2} + \sin^2 \beta}\).

Рассмотрим конус с высотой \(H\), у которого угол между образующими равен \(\alpha\). Образующая конуса \(l\) связана с высотой и углом \(\alpha\) через формулу \(l = \frac{H}{\cos \frac{\alpha}{2}}\), так как половина угла между образующими соответствует углу между образующей и осью конуса. Радиус основания \(r\) равен \(r = H \tan \frac{\alpha}{2}\), что следует из прямоугольного треугольника, образованного высотой, радиусом и образующей.

Площадь боковой поверхности конуса без учета угла сечения равна \(S_{\text{бок}} = \pi r l\), что при подстановке выражений для \(r\) и \(l\) даёт \(S_{\text{бок}} = \pi H^2 \frac{\tan \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2}}\). Однако при наличии плоскости сечения, образующей угол \(\beta\) с основанием, форма и размеры боковой поверхности изменяются, и нужно учитывать влияние этого угла на площадь.

Учитывая угол \(\beta\), площадь боковой поверхности вычисляется по формуле \(S_{\text{бок}} = \pi H \frac{\sqrt{1 — \sin^2 \beta \cos^2 \frac{\alpha}{2}}}{\cos^2 \frac{\alpha}{2} + \sin^2 \beta}\). Здесь числитель подкоренного выражения учитывает проекцию образующих на плоскость сечения, а знаменатель отражает сочетание углов \(\alpha\) и \(\beta\) в пространстве, влияющих на длину образующих и радиус основания в сечении. Эта формула позволяет точно определить площадь боковой поверхности конуса с учётом наклона сечения.