ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 9.34 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Отрезок \(EF\) — средняя линия трапеции \(ABCD\), в которой \(BC \parallel AD\), \(AB = BC = CD = a\), \(AD = 2a\). Данная трапеция вращается вокруг прямой \(EF\). Найдите площадь поверхности тела вращения.

Дано: \(AB = BC = CD = a\), \(AD = 2a\), \(EF\) — средняя линия трапеции.

Средняя линия \(EF = \frac{BC + AD}{2} = \frac{a + 2a}{2} = \frac{3a}{2}\).

Трапеция равнобедренная, высота равна \(a \frac{\sqrt{3}}{2}\).

Площадь поверхности тела вращения при вращении вокруг \(EF\) равна сумме площадей поверхностей вращения треугольников \(ABE\) и \(CDF\).

Используя формулы для площади поверхности вращения и радиусов, получаем:

\(S = \frac{5}{4} \pi a^2 \sqrt{3}\).

Трапеция \(ABCD\) с основаниями \(BC \parallel AD\) имеет стороны \(AB = BC = CD = a\) и \(AD = 2a\). Средняя линия \(EF\) равна полусумме оснований, то есть \(EF = \frac{BC + AD}{2} = \frac{a + 2a}{2} = \frac{3a}{2}\). Эта линия параллельна основаниям и лежит между ними.

Поскольку \(AB = BC = CD = a\), трапеция равнобедренная, и боковые стороны равны. Высоту \(h\) можно найти, рассмотрев треугольник с основанием \(a\) и гипотенузой \(a\), что даёт \(h = a \frac{\sqrt{3}}{2}\). Это важно для определения расстояний от средней линии до вершин и для вычисления радиусов вращения.

При вращении трапеции вокруг средней линии \(EF\) тело разбивается на два конуса, образованных вращением треугольников \(ABE\) и \(CDF\). Площадь поверхности тела вращения равна сумме площадей поверхностей этих конусов. Используя формулу площади поверхности вращения \(S = 2 \pi r l\), где \(r\) — радиус вращения, а \(l\) — образующая, и подставляя найденные значения, получаем итоговую площадь поверхности тела вращения \(S = \frac{5}{4} \pi a^{2} \sqrt{3}\).