ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 9.36 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Площадь равнобокой трапеции равна \(32\sqrt{3}\) см\(^2\), а острый угол — 60°. Найдите боковую сторону трапеции, если известно, что в трапецию можно вписать окружность.

Пусть боковая сторона трапеции равна \( AB \). Из условия вписанной окружности \( AB + CD = BC + AD \), то есть \( 2AB = BC + AD \).

Площадь трапеции \( S = \frac{BC + AD}{2} \cdot BH = AB \cdot BH \).

Высота \( BH = AB \sin 60^\circ = AB \frac{\sqrt{3}}{2} \).

Тогда площадь \( S = AB \cdot AB \frac{\sqrt{3}}{2} = AB^2 \frac{\sqrt{3}}{2} \).

Подставляем \( S = 32\sqrt{3} \): \( 32\sqrt{3} = AB^2 \frac{\sqrt{3}}{2} \).

Умножаем на 2 и делим на \( \sqrt{3} \): \( 64 = AB^2 \).

Следовательно, \( AB = 8 \) см.

Пусть боковая сторона равнобокой трапеции равна \( AB \). Из условия, что в трапецию можно вписать окружность, следует равенство сумм противоположных сторон: \( AB + CD = BC + AD \). Так как трапеция равнобокая, боковые стороны равны, то есть \( AB = BC \). Тогда уравнение можно переписать как \( AB + CD = AB + AD \), что упрощается до \( CD = AD \). Следовательно, сумма боковых сторон удваивается, и мы имеем равенство \( 2AB = BC + AD \).

Площадь трапеции вычисляется по формуле \( S = \frac{BC + AD}{2} \cdot BH \), где \( BH \) — высота трапеции. Из условия равенства сторон и вписанной окружности, площадь можно выразить как \( S = AB \cdot BH \), так как \( \frac{BC + AD}{2} = AB \). Высота \( BH \) равна \( AB \sin 60^\circ \), так как острый угол при основании равен \( 60^\circ \). Подставляя значение синуса, получаем \( BH = AB \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \).

Подставляя выражение для высоты в формулу площади, получаем \( S = AB \cdot AB \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = AB^2 \frac{\sqrt{3}}{2} \). Из условия задачи площадь равна \( 32 \sqrt{3} \), значит \( 32 \sqrt{3} = AB^2 \frac{\sqrt{3}}{2} \). Умножаем обе части уравнения на 2 и делим на \( \sqrt{3} \), получаем \( 64 = AB^2 \). Следовательно, \( AB = 8 \) см.