ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 9.37 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник с углом 30° при основании и боковой стороной 12 см. Все боковые рёбра пирамиды образуют с плоскостью основания угол 60°. Найдите высоту пирамиды.

Дано: боковое ребро пирамиды \( SA = 12 \), угол между боковым ребром и плоскостью основания \( 60^\circ \).

Высота пирамиды \( SO = SA \cdot \sin 60^\circ = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3} \).

В основании треугольник с углом \( 30^\circ \) и боковой стороной 12, точка \( O \) — основание высоты.

Используем теорему Пифагора в треугольнике \( SOA \):

\( SO^2 = SA^2 — OA^2 \).

Из треугольника \( ABC \) находим \( OA = 6 \).

Подставляем:

\( SO = \sqrt{12^2 — 6^2} = \sqrt{144 — 36} = \sqrt{108} = 12\sqrt{3} \).

Ответ: \( 12\sqrt{3} \) см.

В основании пирамиды лежит равнобедренный треугольник с боковыми сторонами по 12 см и углом при основании 30°. Для нахождения высоты пирамиды \( SO \) сначала определим точку \( O \) — основание высоты, которая лежит в плоскости основания. Из условия известно, что все боковые рёбра \( SA, SB, SC \) образуют с плоскостью основания угол 60°. Это значит, что высота пирамиды связана с длиной бокового ребра и углом наклона к основанию.

Пусть \( SA = 12 \) см — длина бокового ребра. Высота пирамиды \( SO \) является проекцией ребра \( SA \) на перпендикуляр к плоскости основания. По определению угла между прямой и плоскостью угол 60° даёт формулу для высоты: \( SO = SA \cdot \sin 60^\circ \). Подставляя значения, получаем \( SO = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3} \) см. Это первая часть решения, которая показывает, как высота связана с ребром и углом.

Далее нужно уточнить длину отрезка \( OA \) — горизонтальной проекции ребра \( SA \) на плоскость основания. В равнобедренном треугольнике с углом 30° при вершине \( A \) боковые стороны равны 12 см, поэтому половина основания \( BC \) равна \( 6 \) см, а \( OA \) — это расстояние от центра основания до вершины \( A \), равное \( 6 \) см. Теперь применяем теорему Пифагора в треугольнике \( SOA \), где \( SA \) — гипотенуза, \( SO \) — высота, а \( OA \) — основание: \( SO = \sqrt{SA^2 — OA^2} = \sqrt{12^2 — 6^2} = \sqrt{144 — 36} = \sqrt{108} = 12\sqrt{3} \) см. Таким образом, высота пирамиды равна \( 12\sqrt{3} \) см.