ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 9.4 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Радиус основания конуса равен 2 см, а его осевое сечение — равнобедренный прямоугольный треугольник. Найдите высоту конуса и его образующую.

Радиус основания конуса \( r = 2 \) см, диаметр \( BC = 4 \) см. В равнобедренном прямоугольном треугольнике \( \triangle AOC \) по теореме Пифагора: \( AC^2 = AO^2 + OC^2 \).

\( AC = 2\sqrt{2} \) см, \( OC = 2 \) см.

\( AO = \sqrt{(2\sqrt{2})^2 — 2^2} = \sqrt{8 — 4} = \sqrt{4} = 2 \) см.

Ответ: высота конуса \( 2 \) см, образующая \( 2\sqrt{2} \) см.

Основание конуса — круг с радиусом \( r = 2 \) см. Осевое сечение представляет собой равнобедренный прямоугольный треугольник, у которого основание \( BC \) совпадает с диаметром основания конуса. Следовательно, длина основания \( BC = 2r = 4 \) см. В равнобедренном прямоугольном треугольнике катеты равны, и один из них — высота \( AO \) конуса, а другой — радиус основания \( OC = 2 \) см. Гипотенуза \( AC \) — это образующая конуса.

Применим теорему Пифагора для треугольника \( AOC \), где \( AO \) — высота, \( OC \) — радиус, а \( AC \) — образующая. Формула имеет вид: \( AC^{2} = AO^{2} + OC^{2} \). Подставим известные значения: \( OC = 2 \) см, \( AC = 2\sqrt{2} \) см (так как в равнобедренном прямоугольном треугольнике гипотенуза равна катету, умноженному на \( \sqrt{2} \), а катет \( OC = 2 \), значит \( AC = 2\sqrt{2} \)). Получим уравнение: \( (2\sqrt{2})^{2} = AO^{2} + 2^{2} \).

Выполним вычисления: \( (2\sqrt{2})^{2} = 4 \times 2 = 8 \), \( 2^{2} = 4 \). Подставляем: \( 8 = AO^{2} + 4 \). Отсюда \( AO^{2} = 8 — 4 = 4 \), значит \( AO = \sqrt{4} = 2 \) см. Таким образом, высота конуса равна \( 2 \) см, а образующая — \( 2\sqrt{2} \) см.