ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 9.5 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Радиус основания конуса равен 9 см, а угол между образующей и плоскостью основания равен 30°. Найдите площадь: 1) боковой поверхности конуса; 2) осевого сечения конуса.

Радиус основания \( r = 9 \) см, угол между образующей и основанием \( 30^\circ \).

Боковая поверхность:
В треугольнике \( ODC \), \( \cos 30^\circ = \frac{9}{l} \),
\( l = \frac{9}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 9 \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = 6\sqrt{3} \) см.

Осевое сечение:
\( l^2 = h^2 + r^2 \),
\( h^2 = (6\sqrt{3})^2 — 9^2 = 108 — 81 = 27 \),
\( h = 3\sqrt{3} \) см.

Площадь осевого сечения:
\( S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot h \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 3\sqrt{3} \cdot 18 = 27\sqrt{3} \) см\(^2\).

Дан конус с радиусом основания \( r = 9 \) см и углом между образующей и плоскостью основания \( 30^\circ \). Для нахождения длины образующей \( l \) используем определение косинуса: в прямоугольном треугольнике, где гипотенуза — это образующая, а прилежащий катет — радиус основания, имеем \( \cos 30^\circ = \frac{r}{l} \). Подставляем значения: \( \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \), значит \( \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{9}{l} \). Отсюда \( l = \frac{9}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 9 \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = 6\sqrt{3} \) см.

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле \( S_{\text{бок}} = \pi r l \). Подставляем найденные значения: \( S_{\text{бок}} = \pi \cdot 9 \cdot 6\sqrt{3} = 54\pi\sqrt{3} \) см². Это выражение полностью соответствует стандартной формуле для площади боковой поверхности конуса, где \( r \) — радиус основания, \( l \) — образующая.

Для вычисления площади осевого сечения определим высоту конуса \( h \). В прямоугольном треугольнике с гипотенузой \( l \) и катетами \( h \) и \( r \) по теореме Пифагора: \( l^{2} = h^{2} + r^{2} \). Следовательно, \( h^{2} = l^{2} — r^{2} = (6\sqrt{3})^{2} — 9^{2} = 108 — 81 = 27 \), значит \( h = 3\sqrt{3} \) см. Осевое сечение — это равнобедренный треугольник с основанием \( 2r = 18 \) см и высотой \( h = 3\sqrt{3} \) см, его площадь равна \( S_{\text{осев}} = \frac{1}{2} \cdot h \cdot 2r = \frac{1}{2} \cdot 3\sqrt{3} \cdot 18 = 27\sqrt{3} \) см².