ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 9.7 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Высота конуса равна \(H\), а угол между образующей конуса и плоскостью основания равен \(\alpha\). Найдите площадь: 1) осевого сечения конуса; 2) боковой поверхности конуса.

В треугольнике \(ABO\): \(\tan\alpha = \frac{H}{BO}\), отсюда \(BO = \frac{H}{\tan\alpha}\). Тогда \(BC = 2BO = \frac{2H}{\tan\alpha}\).

Площадь осевого сечения: \(S_{ABC} = \frac{1}{2} BC \cdot H = \frac{1}{2} \cdot \frac{2H}{\tan\alpha} \cdot H = \frac{H^2}{\tan\alpha}\).

В треугольнике \(ABO\): \(\sin\alpha = \frac{H}{l}\), отсюда \(l = \frac{H}{\sin\alpha}\).

Площадь боковой поверхности: \(S_{бок.} = 2\pi R l = 2\pi \cdot \frac{H}{\tan\alpha} \cdot \frac{H}{\sin\alpha} = \frac{2\pi H^2}{\tan\alpha \sin\alpha}=\frac{2 \pi H^2}{\cos \alpha}\).

Рассмотрим осевое сечение конуса, которое представляет собой равнобедренный треугольник. Пусть высота конуса равна \(H\), а угол между образующей и плоскостью основания обозначим как \(\alpha\). В этом треугольнике основание \(BC\) совпадает с диаметром основания конуса. Радиус основания можно найти из прямоугольного треугольника, где одна сторона — высота \(H\), другая — радиус \(R\), а угол между образующей и основанием — \(\alpha\): \(\tan\alpha = \frac{H}{R}\), откуда \(R = \frac{H}{\tan\alpha}\). Тогда длина основания \(BC = 2R = \frac{2H}{\tan\alpha}\).

Площадь осевого сечения равнобедренного треугольника находится по формуле площади треугольника: \(S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot H\). Подставляем найденное основание: \(S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2H}{\tan\alpha} \cdot H\). Перемножая, получаем \(S_{ABC} = \frac{H^{2}}{\tan\alpha}\).

Для вычисления площади боковой поверхности конуса сначала найдём длину образующей. По определению синуса: \(\sin\alpha = \frac{H}{l}\), где \(l\) — длина образующей. Тогда \(l = \frac{H}{\sin\alpha}\). Площадь боковой поверхности конуса равна произведению длины окружности основания на длину образующей, делённому на два: \(S_{бок.} = \pi R l\), но в решении используется полная формула: \(S_{бок.} = 2\pi R l\). Подставляем значения \(R\) и \(l\): \(S_{бок.} = 2\pi \cdot \frac{H}{\tan\alpha} \cdot \frac{H}{\sin\alpha}\). Получаем окончательное выражение для площади боковой поверхности: \(S_{бок.} = \frac{2\pi H^{2}}{\tan\alpha \sin\alpha}=\frac{2 \pi H^2}{\cos \alpha}\).