ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 9.8 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Образующая конуса равна \(a\), а угол в его осевом сечении при вершине конуса равен \(\alpha\). Найдите площадь: 1) осевого сечения конуса; 2) боковой поверхности конуса.

Площадь осевого сечения равнобедренного треугольника:
\( S_{ABC} = \frac{1}{2} a \cdot a \cdot \sin \alpha = \frac{a^2 \sin \alpha}{2} \)

Радиус основания:
\( BO = a \sin \frac{\alpha}{2} \)

Площадь боковой поверхности:
\( S_{бок.} = \pi a \sin \frac{\alpha}{2} \cdot a = \pi a^2 \sin \frac{\alpha}{2} \)

Площадь осевого сечения конуса находится через площадь треугольника, у которого две стороны — это образующие конуса длиной \( a \), а угол между ними равен углу при вершине осевого сечения \( \alpha \). Формула площади такого треугольника: \( S_{ABC} = \frac{1}{2} a \cdot a \cdot \sin \alpha \). После упрощения получаем \( S_{ABC} = \frac{a^{2} \sin \alpha}{2} \).

Чтобы найти площадь боковой поверхности, нужно определить радиус основания конуса. В осевом сечении радиус основания — это отрезок, который выходит из вершины под углом \( \frac{\alpha}{2} \) к образующей. Значит, радиус основания равен \( BO = a \sin \frac{\alpha}{2} \). Боковая поверхность разворачивается в сектор круга с радиусом \( a \) и дугой, равной длине окружности основания, то есть \( 2\pi r \), где \( r = a \sin \frac{\alpha}{2} \).

Площадь боковой поверхности вычисляется как произведение длины основания на длину образующей, умноженное на \( \pi \): \( S_{бок.} = \pi a \sin \frac{\alpha}{2} \cdot a \). После приведения подобных получаем окончательную формулу: \( S_{бок.} = \pi a^{2} \sin \frac{\alpha}{2} \).