ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 2.25 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Существует ли параллельный перенос, при котором образом точки \(M (-4; 7; -2)\) является точка \(M_1 (-8; 1; -7)\), а образом точки \(N (-1; 4; -2)\) — точка \(N_1 (-5; -2; -7)\)?

Вычисляем вектор переноса по точке \(M\): \(\vec{a} = M_1 — M = (-8 + 4, 1 — 7, -7 + 2) = (-4, -6, -5)\).

Проверяем вектор переноса по точке \(N\): \(N_1 — N = (-5 + 1, -2 — 4, -7 + 2) = (-4, -6, -5)\).

Векторы совпадают, значит параллельный перенос существует.

Для определения существования параллельного переноса необходимо найти вектор, на который сдвигается каждая точка. Начинаем с точки \(M\), для которой образ известен: \(M(-4; 7; -2)\) переходит в \(M_1(-8; 1; -7)\). Вектор переноса равен разности координат образа и исходной точки, то есть \(\vec{a} = (x_{M_1} — x_M, y_{M_1} — y_M, z_{M_1} — z_M)\). Подставляем значения: \(\vec{a} = (-8 — (-4), 1 — 7, -7 — (-2)) = (-4, -6, -5)\).

Далее проверяем, совпадает ли этот вектор переноса с вектором для точки \(N\), чтобы убедиться, что перенос одинаков для обеих точек. Исходная точка \(N\) с координатами \((-1; 4; -2)\) переходит в \(N_1(-5; -2; -7)\). Аналогично вычисляем вектор переноса: \(\vec{b} = (x_{N_1} — x_N, y_{N_1} — y_N, z_{N_1} — z_N) = (-5 — (-1), -2 — 4, -7 — (-2)) =\)
\(= (-4, -6, -5)\).

Так как векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) совпадают, это означает, что существует один и тот же параллельный перенос, переводящий одновременно точки \(M\) и \(N\) в \(M_1\) и \(N_1\) соответственно. Следовательно, ответ: параллельный перенос существует.