ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Вопросы Параграф 1 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

1. Как называют три попарно перпендикулярные координатные пря- мые с общим началом отсчёта?
2. Как называют точку, в которой пересекаются три координатные прямые?
3. Как называют координатную прямую, обозначенную буквой х; бук- вой у; буквой z?
4. Как называют плоскость, проходящую через пару координатных прямых?
5. Как называют пространство, в котором задана система координат?
6. Опишите, каким образом каждой точке М координатного простран- ства ставится в соответствие упорядоченная тройка чисел \((x; y; z)\).
7. Как найти расстояние между двумя точками, если известны их коор- динаты?
8. Как найти координаты середины отрезка, если известны координа- ты его концов?

1. Три попарно перпендикулярные координатные прямые с общим началом отсчёта называют осями координат.

2. Точку, в которой пересекаются три координатные прямые, называют началом координат.

3. Координатную прямую, обозначенную буквой \(x\), называют осью абсцисс; буквой \(y\) — осью ординат; буквой \(z\) — осью аппликат.

4. Плоскость, проходящую через пару координатных прямых, называют координатной плоскостью.

5. Пространство, в котором задана система координат, называют координатным пространством.

6. Каждой точке \(M\) координатного пространства ставится в соответствие упорядоченная тройка чисел \((x; y; z)\), где \(x, y, z\) — проекции точки на оси координат.

7. Расстояние между двумя точками с координатами \((x_1; y_1; z_1)\) и \((x_2; y_2; z_2)\) находится по формуле
\(d = \sqrt{(x_2 — x_1)^2 + (y_2 — y_1)^2 + (z_2 — z_1)^2}\).

8. Координаты середины отрезка с концами в точках \((x_1; y_1; z_1)\) и \((x_2; y_2; z_2)\) вычисляют как
\(\left(\frac{x_1 + x_2}{2}; \frac{y_1 + y_2}{2}; \frac{z_1 + z_2}{2}\right)\).

1. Три попарно перпендикулярные координатные прямые с общим началом отсчёта называют осями координат. Это означает, что каждая из этих прямых расположена под прямым углом к двум другим, образуя систему, которая позволяет однозначно определять положение любой точки в пространстве. Начало отсчёта — это точка пересечения этих трёх осей, которая служит отправной точкой для измерения координат. Такая система упрощает математическое описание и анализ пространственных объектов.

Оси координат обычно обозначают как \(x\), \(y\) и \(z\). Каждая ось отвечает за измерение одной из трёх пространственных координат. Перпендикулярность осей гарантирует независимость измерений по каждой из них, что важно для точного определения положения точек и векторов в пространстве. В результате получается удобная система, позволяющая легко переходить от геометрии к алгебре.

Использование трёх взаимно перпендикулярных осей с общим началом отсчёта позволяет задавать координаты любой точки в трёхмерном пространстве с помощью тройки чисел, что является основой аналитической геометрии и многих приложений в физике, инженерии и других науках.

2. Точку, в которой пересекаются три координатные прямые, называют началом координат. Эта точка является фундаментальной в системе координат, так как она служит отправной точкой для измерения всех координат. Начало координат обозначается обычно буквой \(O\) и имеет координаты \((0; 0; 0)\), что означает, что она не смещена ни по одной из осей.

Все остальные точки пространства определяются относительно начала координат, то есть их координаты показывают, насколько далеко и в каком направлении они находятся от этой точки. Начало координат играет ключевую роль в построении координатной системы, так как без него невозможно задать систему отсчёта.

Кроме того, начало координат часто используется как опорная точка при решении задач в аналитической геометрии, механике и других областях, где важна точная локализация объектов в пространстве.

3. Координатную прямую, обозначенную буквой \(x\), называют осью абсцисс; буквой \(y\) — осью ординат; буквой \(z\) — осью аппликат. Каждая из этих осей отвечает за измерение одной из трёх координат в пространстве. Ось \(x\) обычно направлена горизонтально, ось \(y\) — вертикально в плоскости, а ось \(z\) — перпендикулярно плоскости \(xy\).

Названия осей отражают их функции и исторически сложившиеся обозначения. Ось абсцисс отвечает за первую координату, ось ординат — за вторую, а ось аппликат — за третью, что позволяет удобно различать направления в трёхмерном пространстве. Эти оси образуют правостороннюю систему координат, что важно для согласованности математических операций.

Понимание того, какая ось за что отвечает, необходимо для правильной интерпретации координат и решения задач, связанных с перемещением, построением графиков и анализом пространственных объектов.

4. Плоскость, проходящую через пару координатных прямых, называют координатной плоскостью. В трёхмерном пространстве таких плоскостей три: плоскость \(xy\), плоскость \(xz\) и плоскость \(yz\). Каждая из них образована двумя из трёх осей координат и служит основой для двумерных координатных систем.

Координатные плоскости используются для упрощения анализа пространственных фигур, так как позволяют рассматривать проекции точек и объектов на плоскости. Например, проекция точки на плоскость \(xy\) задаётся координатами \((x; y; 0)\), что упрощает вычисления и визуализацию.

Эти плоскости являются важным инструментом при решении геометрических и физических задач, так как позволяют разбивать сложные трёхмерные задачи на более простые двумерные.

5. Пространство, в котором задана система координат, называют координатным пространством. Оно представляет собой трёхмерное множество всех точек, каждая из которых может быть однозначно описана с помощью тройки чисел \((x; y; z)\). Такое пространство является основой для аналитической геометрии и многих прикладных наук.

Координатное пространство обладает свойствами евклидова пространства, что позволяет использовать стандартные методы измерения расстояний, углов и других геометрических величин. Задание системы координат в этом пространстве упрощает описание и анализ объектов, движений и процессов.

Понимание координатного пространства важно для работы с трехмерными моделями, физическими системами и математическими задачами, так как оно задаёт контекст, в котором происходит исследование.

6. Каждой точке \(M\) координатного пространства ставится в соответствие упорядоченная тройка чисел \((x; y; z)\), где \(x, y, z\) — проекции точки на оси координат. Это означает, что для определения положения точки необходимо измерить её расстояния вдоль каждой из осей от начала координат.

Проекции вычисляются путём опускания перпендикуляров из точки \(M\) на оси \(x\), \(y\) и \(z\). Числа \(x, y, z\) показывают, насколько точка удалена от начала координат в каждом из трёх направлений. Такая запись позволяет однозначно определить точку в пространстве.

Упорядоченность тройки чисел важна, так как перестановка координат изменит положение точки. Поэтому всегда соблюдается порядок \(x\), затем \(y\), затем \(z\).

7. Расстояние между двумя точками с координатами \((x_1; y_1; z_1)\) и \((x_2; y_2; z_2)\) находится по формуле
\(d = \sqrt{(x_2 — x_1)^{2} + (y_2 — y_1)^{2} + (z_2 — z_1)^{2}}\).

Эта формула является обобщением теоремы Пифагора на трёхмерное пространство и позволяет вычислить длину отрезка, соединяющего две точки. Разность координат по каждой оси даёт длину проекции отрезка на эту ось, а сумма квадратов этих проекций под корнем даёт полное расстояние.

Применение этой формулы важно во всех областях, где требуется точное измерение расстояний в пространстве, например, в навигации, физике и компьютерной графике.

8. Координаты середины отрезка с концами в точках \((x_1; y_1; z_1)\) и \((x_2; y_2; z_2)\) вычисляют как
\(\left(\frac{x_1 + x_2}{2}; \frac{y_1 + y_2}{2}; \frac{z_1 + z_2}{2}\right)\).

Это означает, что для нахождения середины нужно усреднить координаты концов отрезка по каждой оси. Полученная точка будет находиться ровно посередине между двумя исходными точками.

Данная формула основана на свойстве отрезка, что его середина делит его на две равные части. Использование этой формулы упрощает задачи, связанные с делением отрезков, построением геометрических фигур и анализом пространственных отношений.