ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Вопросы Параграф 13 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

1. Опишите все возможные случаи взаимного расположения сферы и плоскости.
2. Что является сечением сферы плоскостью, если расстояние от центра сферы до плоскости меньше радиуса сферы?
3. Что называют большим кругом шара?
4. Какую плоскость называют касательной плоскостью к сфере?
5. Каким свойством обладает радиус, проведённый в точку касания плоскости и сферы?
6. Какую прямую называют касательной к сфере?

1. Возможны три случая:
— Плоскость не пересекает сферу (расстояние от центра до плоскости больше радиуса).
— Плоскость касается сферы (расстояние равно радиусу).
— Плоскость пересекает сферу (расстояние меньше радиуса).

2. Сечением будет круг, так как плоскость пересекает сферу, образуя круг.

3. Большим кругом шара называют сечение сферы плоскостью, проходящей через центр сферы.

4. Касательной плоскостью к сфере называют плоскость, которая касается сферы в одной точке.

5. Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной плоскости.

6. Касательной к сфере называют прямую, которая касается сферы в одной точке и лежит в касательной плоскости.

1. Рассмотрим сферу с центром в точке \(O\) и радиусом \(R\), а также плоскость. Обозначим расстояние от центра сферы до плоскости через \(d\). Возможны три случая: если \(d > R\), плоскость не пересекает сферу, то есть сечение отсутствует (\(\emptyset\)); если \(d = R\), плоскость касается сферы в одной точке — касательная плоскость; если \(d < R\), плоскость пересекает сферу, образуя сечение. 2. При условии \(d < R\) сечение сферы плоскостью является кругом. Это объясняется тем, что все точки пересечения лежат на одинаковом расстоянии от центра сферы, а плоскость пересекает шар по кругу. 3. Большим кругом шара называют сечение сферы плоскостью, проходящей через центр \(O\) сферы. В этом случае радиус сечения равен радиусу сферы \(R\), и круг имеет максимальную площадь среди всех сечений. 4. Касательной плоскостью к сфере называют плоскость, которая касается сферы в одной точке \(T\). Это происходит при условии \(d = R\), где \(d\) — расстояние от центра сферы до плоскости. При этом плоскость не пересекает внутренность сферы. 5. Радиус \(OT\), проведённый в точку касания \(T\), перпендикулярен касательной плоскости. Это свойство вытекает из определения касательной плоскости и геометрии сферы. 6. Касательной к сфере называют прямую, которая касается сферы в одной точке и лежит в касательной плоскости. Такая прямая имеет ровно одну общую точку с поверхностью сферы, совпадающую с точкой касания.