ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Вопросы Параграф 15 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

1. Какой многогранник называют описанным около сферы?
2. В какой многогранник можно вписать сферу?
3. Каким свойством должны обладать биссекторы двугранных углов при рёбрах выпуклого многогранника, чтобы в этот многогранник можно было вписать сферу?
4. Где расположен центр сферы, вписанной в правильную пирамиду?
5. Какими свойствами должны обладать основание и высота прямой призмы, чтобы в неё можно было вписать сферу?
6. Каким свойством должна обладать высота правильной призмы, чтобы в неё можно было вписать сферу?
7. Какая точка является центром шара, вписанного в правильную призму?

1. Описанным около сферы называют многогранник, у которого все вершины лежат на сфере.

2. Сферу можно вписать в многогранник, если все его грани касаются этой сферы.

3. Биссекторы двугранных углов при рёбрах выпуклого многогранника должны пересекаться в одной точке — центре вписанной сферы.

4. Центр сферы, вписанной в правильную пирамиду, расположен на высоте пирамиды и является точкой пересечения биссекторов двугранных углов.

5. Для вписания сферы в прямую призму основание должно быть описанным около сферы (то есть иметь вписанную окружность), а высота призмы должна равняться диаметру этой окружности.

6. Высота правильной призмы должна быть равна диаметру вписанной в основание окружности, чтобы в неё можно было вписать сферу.

7. Центром шара, вписанного в правильную призму, является точка пересечения оси призмы с центром вписанной в основание окружности.

1. Многогранник называют описанным около сферы, если все его вершины лежат на поверхности этой сферы. Для проверки данного свойства необходимо убедиться, что расстояния от центра сферы до всех вершин равны радиусу сферы. Если \(O\) — центр сферы, а \(A_i\) — вершины многогранника, то выполняется равенство \(OA_1 = OA_2 = \ldots = OA_n = R\), где \(R\) — радиус сферы.

2. Сферу можно вписать в многогранник, если каждая грань этого многогранника касается сферы. Это означает, что сфера является вписанной, и ее центр находится на пересечении биссектрис двугранных углов при рёбрах многогранника. Для вписанной сферы расстояние от центра до каждой грани одинаково и равно радиусу сферы.

3. Чтобы в выпуклый многогранник можно было вписать сферу, биссектрисы двугранных углов при всех рёбрах должны пересекаться в одной точке. Эта точка является центром вписанной сферы. Иначе говоря, для каждого ребра биссектриса двугранного угла — это множество точек, равноудалённых от обеих граней, образующих ребро. Центр сферы — единственная точка, которая равноудалена от всех граней.

4. В правильной пирамиде центр вписанной сферы лежит на высоте пирамиды. Этот центр находится в точке пересечения биссектрис двугранных углов, а также на оси пирамиды, проходящей через вершину и центр основания. Таким образом, координаты центра можно определить как точку на высоте \(h\), удовлетворяющую условию равенства расстояний до всех граней.

5. В прямую призму можно вписать сферу, если основание призмы имеет вписанную окружность, то есть является описанным около окружности многоугольником. Кроме того, высота призмы \(H\) должна быть равна диаметру вписанной в основание окружности \(2r\), где \(r\) — радиус вписанной окружности. Это обеспечивает касание сферы с боковыми гранями и основаниями призмы.

6. Для правильной призмы высота должна равняться диаметру вписанной в основание окружности, то есть \(H = 2r\). При этом основание является правильным многоугольником с вписанной окружностью радиуса \(r\). Такое соотношение гарантирует, что сфера касается всех граней и оснований призмы.

7. Центр сферы, вписанной в правильную призму, совпадает с точкой пересечения оси призмы и центра вписанной в основание окружности. Эта точка находится на высоте \(h = r\) от основания, где \(r\) — радиус вписанной окружности. Центр равномерно удалён от всех граней призмы, что соответствует определению центра вписанной сферы.