ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Вопросы Параграф 4 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

1. Что называют произведением ненулевого вектора \( \vec{a} \) и числа \( k \), отличного от нуля?
2. Что можно сказать о векторах \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \), если \( \vec{b} = k \vec{a} \), где \( k \) — некоторое число?
3. Известно, что векторы \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \) коллинеарны, причём \( \vec{a} \neq \vec{0} \). Как можно выразить вектор \( \vec{b} \) через вектор \( \vec{a} \)?
4. Вектор \( \vec{a} \) имеет координаты \( (a_1; a_2; a_3) \). Чему равны координаты вектора \( k \vec{a} \)?
5. Что можно сказать о векторах, координаты которых равны \( (a_1; a_2; a_3) \) и \( (k a_1; k a_2; k a_3) \)?
6. Запишите сочетательное и распределительные свойства умножения вектора на число.
7. В каком случае говорят, что точка \( X_1 \) является образом точки \( X \) при гомотетии с центром \( O \) и коэффициентом \( k \)?
8. Опишите преобразование фигуры \( F \), которое называют гомотетией с центром \( O \) и коэффициентом \( k \).
9. Сформулируйте свойства гомотетии.
10. Какая фигура является сечением пирамиды плоскостью, параллельной основанию пирамиды?

1. Произведением ненулевого вектора \( \vec{a} \) и числа \( k \neq 0 \) называют вектор \( k \vec{a} \), который направлен либо так же, как \( \vec{a} \) (если \( k > 0 \)), либо в противоположную сторону (если \( k < 0 \)), и длина которого равна длине \( \vec{a} \), умноженной на \( |k| \).

2. Если \( \vec{b} = k \vec{a} \), то векторы \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \) коллинеарны, то есть лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

3. Если \( \vec{a} \neq \vec{0} \) и векторы \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \) коллинеарны, то существует число \( k \), такое что \( \vec{b} = k \vec{a} \).

4. Если \( \vec{a} = (a_1; a_2; a_3) \), то координаты вектора \( k \vec{a} \) равны \( (k a_1; k a_2; k a_3) \).

5. Векторы с координатами \( (a_1; a_2; a_3) \) и \( (k a_1; k a_2; k a_3) \) коллинеарны и отличаются масштабом, равным \( k \).

6. Сочетательное свойство: \( k(m \vec{a}) = (km) \vec{a} \).
Распределительное свойство: \( k(\vec{a} + \vec{b}) = k \vec{a} + k \vec{b} \).

7. Точка \( X_1 \) является образом точки \( X \) при гомотетии с центром \( O \) и коэффициентом \( k \), если \( \overrightarrow{O X_1} = k \overrightarrow{O X} \).

8. Гомотетия с центром \( O \) и коэффициентом \( k \) — это преобразование, при котором каждая точка \( X \) фигуры \( F \) переводится в точку \( X_1 \), лежащую на луче \( OX \) и такой, что \( \overrightarrow{O X_1} = k \overrightarrow{O X} \).

9. Свойства гомотетии: сохраняет коллинеарность и отношение расстояний на одной прямой, углы, и переводит фигуры в подобные с коэффициентом подобия \( |k| \).

10. Сечением пирамиды плоскостью, параллельной основанию, является многоугольник, подобный основанию пирамиды.

1. Произведением ненулевого вектора \( \vec{a} \) и числа \( k \neq 0 \) называют вектор \( k \vec{a} \). Этот вектор направлен в ту же сторону, что и \( \vec{a} \), если \( k > 0 \), и в противоположную, если \( k < 0 \). Длина вектора \( k \vec{a} \) равна произведению длины \( \vec{a} \) на абсолютное значение \( k \), то есть \( |k| \cdot |\vec{a}| \).

2. Если \( \vec{b} = k \vec{a} \), где \( k \) — число, то векторы \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \) лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Такие векторы называются коллинеарными.

3. Если векторы \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \) коллинеарны и \( \vec{a} \neq \vec{0} \), то существует число \( k \), такое что \( \vec{b} = k \vec{a} \). Это означает, что \( \vec{b} \) можно получить умножением \( \vec{a} \) на число \( k \).

4. Если вектор \( \vec{a} \) имеет координаты \( (a_1; a_2; a_3) \), то координаты вектора \( k \vec{a} \) будут равны \( (k a_1; k a_2; k a_3) \).

5. Векторы с координатами \( (a_1; a_2; a_3) \) и \( (k a_1; k a_2; k a_3) \) коллинеарны, так как один из них получается умножением другого на число \( k \). Они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

6. Сочетательное свойство умножения вектора на число выражается формулой \( k(m \vec{a}) = (k m) \vec{a} \), где \( k \) и \( m \) — числа. Распределительное свойство по сложению векторов записывается так: \( k(\vec{a} + \vec{b}) = k \vec{a} + k \vec{b} \).

7. Точка \( X_1 \) называется образом точки \( X \) при гомотетии с центром \( O \) и коэффициентом \( k \), если вектор \( \overrightarrow{O X_1} \) равен \( k \) умноженному на вектор \( \overrightarrow{O X} \), то есть \( \overrightarrow{O X_1} = k \overrightarrow{O X} \).

8. Гомотетией с центром \( O \) и коэффициентом \( k \) называют преобразование фигуры \( F \), при котором каждой точке \( X \) фигуры ставится в соответствие точка \( X_1 \), лежащая на луче \( OX \), и удовлетворяющая равенству \( \overrightarrow{O X_1} = k \overrightarrow{O X} \).

9. Свойства гомотетии: сохраняется коллинеарность точек, сохраняется отношение расстояний между точками на одной прямой, углы между отрезками не меняются, а фигуры переходят в подобные с коэффициентом подобия \( |k| \).

10. Сечением пирамиды плоскостью, параллельной основанию, является многоугольник, подобный основанию пирамиды. Это происходит потому, что параллельность плоскостей сохраняет углы и пропорции, а значит все стороны сечения пропорциональны сторонам основания.