ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Вопросы Параграф 5 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

1. Опишите, как можно построить угол между двумя ненулевыми и не- сонаправленными векторами.
2. Как обозначают угол между векторами \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \)?
3. Чему равен угол между двумя противоположно направленными векторами?
4. Чему равен угол между двумя сонаправленными векторами?
5. Чему равен угол между векторами \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \), если хотя бы один из них нулевой?
6. В каких пределах находится угол между любыми векторами \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \)?
7. Какие векторы называют перпендикулярными?
8. Что называют скалярным произведением двух векторов?
9. Что называют скалярным квадратом вектора?
10. Чему равен скалярный квадрат вектора?
11. Сформулируйте условие перпендикулярности двух ненулевых векто- ров.
12. Что следует из равенства \( \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \), если \( \vec{a} \neq \vec{0} \) и \( \vec{b} \neq \vec{0} \)?
13. Как найти скалярное произведение векторов, если известны их ко- ординаты?
14. Как найти косинус угла между векторами, если известны их коорди- наты?
15. Запишите свойства скалярного произведения векторов.

1. Угол между двумя ненулевыми и не сонаправленными векторами строится как угол между их направляющими лучами, исходящими из одной точки.

2. Угол между векторами \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \) обозначают как \( \angle(\vec{a}, \vec{b}) \).

3. Угол между противоположно направленными векторами равен \( \pi \) радиан (180 градусов).

4. Угол между сонаправленными векторами равен 0.

5. Если хотя бы один из векторов нулевой, угол между ними не определён.

6. Угол между любыми векторами находится в пределах от 0 до \( \pi \).

7. Перпендикулярными называют векторы, угол между которыми равен \( \frac{\pi}{2} \) (90 градусов).

8. Скалярным произведением двух векторов называют число, равное произведению их модулей на косинус угла между ними: \( \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \alpha \).

9. Скалярным квадратом вектора называют скалярное произведение вектора самого на себя.

10. Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины: \( \vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2 \).

11. Условие перпендикулярности двух ненулевых векторов: \( \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \).

12. Из равенства \( \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \), если \( \vec{a} \neq \vec{0} \) и \( \vec{b} \neq \vec{0} \), следует, что векторы перпендикулярны.

13. Скалярное произведение векторов с известными координатами вычисляют по формуле: \( \vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 \).

14. Косинус угла между векторами находится по формуле: \( \cos \alpha = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} \).

15. Свойства скалярного произведения:

• Коммутативность: \( \vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a} \)
• Дистрибутивность: \( \vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c} \)
• Умножение на скаляр: \( (k \vec{a}) \cdot \vec{b} = k (\vec{a} \cdot \vec{b}) \)
• Положительная определённость: \( \vec{a} \cdot \vec{a} \geq 0 \), и равно 0 только если \( \vec{a} = \vec{0} \)

1. Угол между двумя ненулевыми и не- сонаправленными векторами можно построить следующим образом: из начальной точки одного вектора провести второй вектор так, чтобы их начальные точки совпали. Затем измерить угол между этими двумя лучами, исходящими из общей точки.

2. Угол между векторами \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \) обозначают как \( \angle(\vec{a}, \vec{b}) \) или просто \( \varphi \).

3. Угол между двумя противоположно направленными векторами равен \( \pi \) радиан (180 градусов).

4. Угол между двумя сонаправленными векторами равен 0 радиан (0 градусов).

5. Если хотя бы один из векторов нулевой, то угол между ними не определяется.

6. Угол между любыми векторами \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \) находится в пределах от 0 до \( \pi \) радиан включительно, то есть \( 0 \leq \varphi \leq \pi \).

7. Векторы называют перпендикулярными, если угол между ними равен \( \frac{\pi}{2} \) радиан (90 градусов).

8. Скалярным произведением двух векторов называют число, равное произведению их длин на косинус угла между ними: \( \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos \varphi \).

9. Скалярным квадратом вектора называют скалярное произведение вектора самого на себя.

10. Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины: \( \vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2 \).

11. Условие перпендикулярности двух ненулевых векторов формулируется так: \( \vec{a} \perp \vec{b} \iff \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \).

12. Из равенства \( \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \), если \( \vec{a} \neq \vec{0} \) и \( \vec{b} \neq \vec{0} \), следует, что векторы \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \) перпендикулярны.

13. Скалярное произведение векторов с координатами \( \vec{a} = (a_1, a_2, a_3) \) и \( \vec{b} = (b_1, b_2, b_3) \) находится по формуле:
\( \vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 \).

14. Косинус угла между векторами с координатами \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \) вычисляется по формуле:
\( \cos \varphi = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} = \frac{a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3}{\sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2} \cdot \sqrt{b_1^2 + b_2^2 + b_3^2}} \).

15. Свойства скалярного произведения векторов: