ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 1.10 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Боковые рёбра прямоугольного параллелепипеда \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) параллельны оси аппликат (рис. 1.9), \(AD = 3\), \(AB = 5\), \(AA_1 = 8\). Начало координат, точка \(O\), является серединой ребра \(DD_1\). Найдите координаты вершин параллелепипеда.

Координаты вершин параллелепипеда:

\(A\left(3; 5; -4\right)\), \(A_1\left(3; -5; 4\right)\),

\(B\left(2; 5; -4\right)\), \(B_1\left(2; -5; 4\right)\),

\(C\left(5; 3; -4\right)\), \(C_1\left(5; 3; 4\right)\),

\(D\left(0; 0; -4\right)\), \(D_1\left(0; 0; 4\right)\).

Рассмотрим подробно, как определить координаты вершин параллелепипеда, если известно, что точка \(D\) имеет координаты \( (0; 0; -4) \), а \(D_1\) — точка, расположенная на оси \(z\) симметрично относительно \(D\). Начнем с того, что параллелепипед — это трёхмерная фигура, у которой все грани являются параллелограммами, и рёбра, исходящие из одной вершины, взаимно перпендикулярны. Для определения координат остальных вершин важно понять расположение и размеры параллелепипеда по каждой оси.

Пусть оси координат \(x\), \(y\) и \(z\) ориентированы так, что ребро \(DD_1\) направлено вдоль оси \(z\). Если точка \(D\) имеет координаты \( (0; 0; -4) \), а длина ребра \(DD_1\) равна 8, то координаты точки \(D_1\) будут \( (0; 0; 4) \), так как она находится на том же вертикальном столбе, но выше на 8 единиц по оси \(z\). Это значит, что середина ребра \(DD_1\) находится в начале координат \(O(0; 0; 0)\), что соответствует условию задачи.

Далее, чтобы определить координаты остальных вершин параллелепипеда, нужно учитывать длины рёбер, лежащих в плоскостях \(xy\), \(xz\) и \(yz\). Например, если ребро \(AD\) параллельно оси \(x\) и имеет длину 3, а ребро \(AB\) параллельно оси \(y\) и равно 5, то координаты точки \(A\), которая лежит на том же уровне \(z = -4\), будут \( (3; 0; -4) \), а точки \(B\) — \( (0; 5; -4) \). Аналогично, вершины \(A_1\) и \(B_1\), расположенные на уровне \(z = 4\), будут иметь координаты \( (3; 0; 4) \) и \( (0; 5; 4) \) соответственно. Таким образом, используя длины рёбер и положение точки \(D\), мы можем однозначно определить координаты всех остальных вершин параллелепипеда.