ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 1.11 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Найдите расстояние между точками \(A\) и \(B\), если:

1) \(A (3; -4; 2)\), \(B (5; -6; 1)\);

2) \(A (-2; 3; 1)\), \(B (-3; 2; 0)\).

Расстояние между точками \(A\) и \(B\) находится по формуле:
\(d = \sqrt{(x_2 — x_1)^2 + (y_2 — y_1)^2 + (z_2 — z_1)^2}\).

1) Для точек \(A(3; -4; 2)\) и \(B(5; -6; 1)\):
\(d = \sqrt{(5-3)^2 + (-6+4)^2 + (1-2)^2} = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + (-1)^2} =\)
\(= \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3\).

2) Для точек \(A(-2; 3; 1)\) и \(B(-3; 2; 0)\):
\(d = \sqrt{(-3+2)^2 + (2-3)^2 + (0-1)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2 + (-1)^2} =\)
\(= \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}\).

1) Для нахождения расстояния между двумя точками в пространстве \(A(3; -4; 2)\) и \(B(5; -6; 1)\) используется формула расстояния, которая основана на теореме Пифагора. В координатах трехмерного пространства расстояние \(d\) вычисляется как корень квадратный из суммы квадратов разностей соответствующих координат. То есть сначала мы находим разности по каждой оси: по оси \(x\) это \(5 — 3 = 2\), по оси \(y\) — \(-6 — (-4) = -6 + 4 = -2\), по оси \(z\) — \(1 — 2 = -1\).

Далее возводим эти разности в квадрат: \(2^2 = 4\), \((-2)^2 = 4\), \((-1)^2 = 1\). Складываем полученные квадраты: \(4 + 4 + 1 = 9\). После этого извлекаем квадратный корень из суммы: \(d = \sqrt{9} = 3\). Таким образом, расстояние между точками \(A\) и \(B\) равно 3.

2) Аналогично для точек \(A(-2; 3; 1)\) и \(B(-3; 2; 0)\) вычисляем разности координат: по \(x\) — \(-3 — (-2) = -3 + 2 = -1\), по \(y\) — \(2 — 3 = -1\), по \(z\) — \(0 — 1 = -1\). Возводим каждую разность в квадрат: \((-1)^2 = 1\) для всех трех координат. Складываем квадраты: \(1 + 1 + 1 = 3\). Извлекаем корень: \(d = \sqrt{3}\). Это и есть расстояние между точками \(A\) и \(B\) во втором случае.