ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 1.17 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Точки \(A\) и \(B\) симметричны относительно точки \(M\), причём \(B (1; 3; -5)\), \(M (9; 0; -4)\). Найдите координаты точки \(A\).

Точки \(A(x, y, z)\) и \(B(1, 3, -5)\) симметричны относительно точки \(M(9, 0, -4)\).

По формуле средней точки:
\(\frac{x + 1}{2} = 9\), \(\frac{y + 3}{2} = 0\), \(\frac{z — 5}{2} = -4\).

Решаем уравнения:
\(x + 1 = 18 \Rightarrow x = 17\),
\(y + 3 = 0 \Rightarrow y = -3\),
\(z — 5 = -8 \Rightarrow z = -3\).

Ответ: \(A(17, -3, -3)\).

Точки \(A(x, y, z)\) и \(B(1, 3, -5)\) являются симметричными относительно точки \(M(9, 0, -4)\). Это означает, что точка \(M\) является серединой отрезка \(AB\). По свойству средней точки координаты \(M\) равны средним арифметическим координат точек \(A\) и \(B\). То есть для каждой координаты выполняется равенство:
\(\frac{x + 1}{2} = 9\),
\(\frac{y + 3}{2} = 0\),
\(\frac{z — 5}{2} = -4\).

Рассмотрим каждое уравнение отдельно. Из первого уравнения умножаем обе части на 2, получая \(x + 1 = 18\). Вычитаем 1 из обеих частей: \(x = 18 — 1 = 17\). Аналогично, из второго уравнения: \(y + 3 = 0\), откуда \(y = -3\). Из третьего уравнения: \(z — 5 = -8\), следовательно \(z = -8 + 5 = -3\).

Таким образом, координаты точки \(A\) равны \(x = 17\), \(y = -3\), \(z = -3\). Получаем ответ: \(A(17, -3, -3)\). Это решение соответствует условию задачи, так как точка \(M\) действительно является серединой отрезка между точками \(A\) и \(B\).