ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 1.20 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Расстояние между точками \(A (1; y; 3)\) и \(B (3; -6; 5)\) равно \(2\sqrt{6}\). Найдите значение \(y\).

Расстояние между точками \( A(1; y; 3) \) и \( B(3; -6; 5) \) равно \( 2\sqrt{6} \).

Формула расстояния:
\( \sqrt{(3-1)^2 + (-6 — y)^2 + (5-3)^2} = 2\sqrt{6} \)

Вычисляем:
\( \sqrt{4 + (y+6)^2 + 4} = 2\sqrt{6} \)
\( \sqrt{8 + (y+6)^2} = 2\sqrt{6} \)

Возводим в квадрат:
\( 8 + (y+6)^2 = 24 \)

Раскрываем скобки:
\( y^2 + 12y + 36 + 8 = 24 \)
\( y^2 + 12y + 44 = 24 \)

Переносим 24:
\( y^2 + 12y + 20 = 0 \)

Вычисляем дискриминант:
\( D = 12^2 — 4 \cdot 1 \cdot 20 = 144 — 80 = 64 \)

Находим корни:
\( y_1 = \frac{-12 — 8}{2} = -10 \)
\( y_2 = \frac{-12 + 8}{2} = -2 \)

1. Для нахождения значения \( y \) используем формулу расстояния между двумя точками в пространстве:
\( \sqrt{(x_2 — x_1)^2 + (y_2 — y_1)^2 + (z_2 — z_1)^2} \).
Подставляем координаты точек \( A(1; y; 3) \) и \( B(3; -6; 5) \):
\( \sqrt{(3 — 1)^2 + (-6 — y)^2 + (5 — 3)^2} = 2\sqrt{6} \).
Раскроем скобки и упростим выражение:
\( \sqrt{2^2 + (-6 — y)^2 + 2^2} = 2\sqrt{6} \),
то есть
\( \sqrt{4 + (y + 6)^2 + 4} = 2\sqrt{6} \).

2. Складываем числа под корнем:
\( \sqrt{8 + (y + 6)^2} = 2\sqrt{6} \).
Чтобы избавиться от корня, возводим обе части уравнения в квадрат:
\( 8 + (y + 6)^2 = (2\sqrt{6})^2 \).
Правая часть равна \( 4 \times 6 = 24 \), следовательно:
\( 8 + (y + 6)^2 = 24 \).
Вычитаем 8 из обеих частей уравнения:
\( (y + 6)^2 = 16 \).

3. Раскрываем квадрат двучлена:
\( y^2 + 12y + 36 = 16 \).
Переносим 16 в левую часть:
\( y^2 + 12y + 36 — 16 = 0 \),
то есть
\( y^2 + 12y + 20 = 0 \).
Для решения квадратного уравнения вычисляем дискриминант:
\( D = 12^2 — 4 \times 1 \times 20 = 144 — 80 = 64 \).
Корни находятся по формуле:
\( y = \frac{-12 \pm \sqrt{64}}{2} \),
то есть
\( y_1 = \frac{-12 — 8}{2} = -10 \),
\( y_2 = \frac{-12 + 8}{2} = -2 \).