ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 1.21 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Точка \(A\) принадлежит оси абсцисс. Расстояние от точки \(A\) до точки \(C (1; -1; -2)\) равно 3. Найдите координаты точки \(A\).

Точка \(A\) лежит на оси абсцисс, значит её координаты \((x; 0; 0)\).

Расстояние от точки \(A\) до точки \(C(1; -1; -2)\) равно 3, значит

\[
\sqrt{(1 — x)^2 + (-1 — 0)^2 + (-2 — 0)^2} = 3
\]

Раскроем скобки и возведём в квадрат:

\[
(1 — x)^2 + 1 + 4 = 9
\]

\[
1 — 2x + x^2 + 5 = 9
\]

\[
x^2 — 2x — 3 = 0
\]

Дискриминант:

\[
D = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16
\]

Корни уравнения:

\[
x_1 = \frac{2 — 4}{2} = -1, \quad x_2 = \frac{2 + 4}{2} = 3
\]

Ответ: \(A(-1; 0; 0)\) или \(A(3; 0; 0)\).

1. Точка \(A\) принадлежит оси абсцисс, это означает, что её координаты имеют вид \( (x; 0; 0) \), где \(x\) — неизвестное значение, которое нам нужно найти. Координаты по осям \(y\) и \(z\) равны нулю, так как точка лежит именно на оси абсцисс.

2. Из условия известно, что расстояние от точки \(A\) до точки \(C(1; -1; -2)\) равно 3. Расстояние между двумя точками в пространстве вычисляется по формуле:

\[
d = \sqrt{(x_2 — x_1)^2 + (y_2 — y_1)^2 + (z_2 — z_1)^2}
\]

Подставим координаты точек \(A(x; 0; 0)\) и \(C(1; -1; -2)\):

\[
\sqrt{(1 — x)^2 + (-1 — 0)^2 + (-2 — 0)^2} = 3
\]

Раскроем скобки и упростим выражение под корнем:

\[
\sqrt{(1 — x)^2 + 1^2 + 2^2} = 3
\]

\[
\sqrt{(1 — x)^2 + 1 + 4} = 3
\]

\[
\sqrt{(1 — x)^2 + 5} = 3
\]

3. Чтобы избавиться от корня, возведём обе части уравнения в квадрат:

\[
(1 — x)^2 + 5 = 9
\]

Раскроем квадрат:

\[
(1 — x)^2 = (1 — x)(1 — x) = 1 — 2x + x^2
\]

Подставим обратно:

\[
1 — 2x + x^2 + 5 = 9
\]

\[
x^2 — 2x + 6 = 9
\]

Перенесём 9 в левую часть:

\[
x^2 — 2x + 6 — 9 = 0
\]

\[
x^2 — 2x — 3 = 0
\]

4. Решим квадратное уравнение \(x^2 — 2x — 3 = 0\) с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта:

\[
D = b^2 — 4ac
\]

Здесь \(a = 1\), \(b = -2\), \(c = -3\), поэтому

\[
D = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16
\]

Так как дискриминант положительный, уравнение имеет два действительных корня.

5. Найдём корни по формуле:

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}
\]

Подставим значения:

\[
x_1 = \frac{2 — 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1
\]

\[
x_2 = \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3
\]

Таким образом, возможные координаты точки \(A\) — \( (-1; 0; 0) \) или \( (3; 0; 0) \).