ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 1.22 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Точка М принадлежит отрезку АВ и делит его в отношении 4 : 1, считая от точки А. Найдите координаты точки М, если А (2; — 3; 2), B (-3; 1; — 8).

Точка \(M\) делит отрезок \(AB\) в отношении 4:1, считая от точки \(A\).

Координаты точки \(M\) находятся по формуле деления отрезка в заданном отношении:

\(M_x = \frac{1 \cdot x_A + 4 \cdot x_B}{4+1} = \frac{1 \cdot 2 + 4 \cdot (-3)}{5} = \frac{2 — 12}{5} = \frac{-10}{5} = -2\)

\(M_y = \frac{1 \cdot y_A + 4 \cdot y_B}{4+1} = \frac{1 \cdot (-3) + 4 \cdot 1}{5} = \frac{-3 + 4}{5} = \frac{1}{5} = 0.2\)

\(M_z = \frac{1 \cdot z_A + 4 \cdot z_B}{4+1} = \frac{1 \cdot 2 + 4 \cdot (-8)}{5} = \frac{2 — 32}{5} = \frac{-30}{5} = -6\)

Ответ: \(M(-2; 0.2; -6)\)

1. Точка \(M\) принадлежит отрезку \(AB\) и делит его в отношении 4 : 1, считая от точки \(A\). Это значит, что отрезок \(AB\) разделён на две части: часть от \(A\) до \(M\) в 4 раза длиннее части от \(M\) до \(B\). Чтобы найти координаты точки \(M\), нужно применить формулу деления отрезка в заданном отношении. Пусть координаты \(A\) равны \((x_A; y_A; z_A)\), а координаты \(B\) равны \((x_B; y_B; z_B)\). Тогда координаты точки \(M\) вычисляются по формуле: \(M = \left(\frac{m x_B + n x_A}{m+n}; \frac{m y_B + n y_A}{m+n}; \frac{m z_B + n z_A}{m+n}\right)\), где \(m\) и \(n\) — части отрезка, на которые делится отрезок \(AB\).

2. В данном случае отношение 4 : 1 означает, что \(m = 1\) (часть ближе к \(A\)), а \(n = 4\) (часть ближе к \(B\)). Подставим координаты точек: \(A(2; -3; 2)\) и \(B(-3; 1; -8)\). Тогда координаты \(M\) будут вычисляться по каждой оси отдельно. Для оси \(x\) это будет \(M_x = \frac{1 \cdot 2 + 4 \cdot (-3)}{1+4} = \frac{2 — 12}{5} = \frac{-10}{5} = -2\). Для оси \(y\) — \(M_y = \frac{1 \cdot (-3) + 4 \cdot 1}{5} = \frac{-3 + 4}{5} = \frac{1}{5} = 0.2\). Для оси \(z\) — \(M_z = \frac{1 \cdot 2 + 4 \cdot (-8)}{5} = \frac{2 — 32}{5} = \frac{-30}{5} = -6\).

3. Таким образом, точка \(M\), делящая отрезок \(AB\) в отношении 4 : 1 от точки \(A\), имеет координаты \(M(-2; 0.2; -6)\). Этот результат получен путём взвешенного усреднения координат точек \(A\) и \(B\) с учётом заданного отношения деления отрезка. Координата \(x\) смещается ближе к \(B\), так как вес для \(B\) больше, то же самое происходит с координатами \(y\) и \(z\). Такой способ позволяет точно определить положение точки внутри отрезка в пространстве.