ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 1.23 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Точка М принадлежит отрезку АВ и делит его в отношении 1 : 2, считая от точки А. Найдите координаты точки В, если А (4; — 6; 0). M (3; — 2; — 3).

Точка \( M \) делит отрезок \( AB \) в отношении \( 1 : 2 \), считая от точки \( A \).

Координаты \( M \) выражаются через координаты \( A(x_A, y_A, z_A) \) и \( B(x_B, y_B, z_B) \) по формуле деления отрезка:

\( M = \left(\frac{2x_A + x_B}{3}; \frac{2y_A + y_B}{3}; \frac{2z_A + z_B}{3}\right) \).

Подставляем данные: \( A(4; -6; 0) \), \( M(3; -2; -3) \).

Получаем систему уравнений:

\( \frac{2 \cdot 4 + x}{3} = 3 \Rightarrow \frac{8 + x}{3} = 3 \Rightarrow 8 + x = 9 \Rightarrow x = 1 \),

\( \frac{2 \cdot (-6) + y}{3} = -2 \Rightarrow \frac{-12 + y}{3} = -2 \Rightarrow -12 + y = -6 \Rightarrow y = 6 \),

\( \frac{2 \cdot 0 + z}{3} = -3 \Rightarrow \frac{z}{3} = -3 \Rightarrow z = -9 \).

Ответ: \( B(1; 6; -9) \).

Точка \( M \) лежит на отрезке \( AB \) и делит его в отношении \( 1 : 2 \), считая от точки \( A \). Это означает, что длина отрезка \( AM \) в три раза меньше длины всего отрезка \( AB \), а точка \( M \) расположена ближе к \( A \), чем к \( B \). Чтобы найти координаты точки \( B \), нужно использовать формулу деления отрезка в заданном отношении. Если точка \( M \) делит отрезок \( AB \) в отношении \( m : n \), то координаты \( M \) вычисляются по формуле:

\( M = \left(\frac{m x_B + n x_A}{m + n}; \frac{m y_B + n y_A}{m + n}; \frac{m z_B + n z_A}{m + n}\right) \).

В нашем случае отношение \( 1 : 2 \) означает, что \( m = 2 \), \( n = 1 \), так как деление считается от точки \( A \), и формула принимает вид:

\( M = \left(\frac{2 x_A + x_B}{3}; \frac{2 y_A + y_B}{3}; \frac{2 z_A + z_B}{3}\right) \).

Известны координаты точек \( A(4; -6; 0) \) и \( M(3; -2; -3) \). Подставим их в формулу и составим систему уравнений для поиска координат \( B(x; y; z) \):

\( \frac{2 \cdot 4 + x}{3} = 3 \),

\( \frac{2 \cdot (-6) + y}{3} = -2 \),

\( \frac{2 \cdot 0 + z}{3} = -3 \).

Решим каждое уравнение отдельно. Первое уравнение:

\( \frac{8 + x}{3} = 3 \Rightarrow 8 + x = 9 \Rightarrow x = 1 \).

Второе уравнение:

\( \frac{-12 + y}{3} = -2 \Rightarrow -12 + y = -6 \Rightarrow y = 6 \).

Третье уравнение:

\( \frac{z}{3} = -3 \Rightarrow z = -9 \).

Таким образом, координаты точки \( B \) равны \( (1; 6; -9) \).