ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 1.24 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Найдите точку, принадлежащую оси ординат и равноудалённую от точек А (2; 3; 1) и В (4; 1; — 5).

Точка лежит на оси ординат, значит имеет вид \( M(0; y; 0) \).

Равенство расстояний от точки \( M \) до \( A(2; 3; 1) \) и \( B(4; 1; -5) \):

\((0 — 2)^2 + (y — 3)^2 + (0 — 1)^2 = (0 — 4)^2 + (y — 1)^2 + (0 + 5)^2\)

Раскроем скобки:

\(4 + (y — 3)^2 + 1 = 16 + (y — 1)^2 + 25\)

\(5 + y^2 — 6y + 9 = 16 + y^2 — 2y + 1 + 25\)

Сократим \(y^2\) и приведём подобные:

\(14 — 6y = 42 — 2y\)

Переносим всё влево:

\(-6y + 2y = 42 — 14\)

\(-4y = 28\)

\(y = -7\)

Ответ: \(M(0; -7; 0)\)

1. Точка \( M \) принадлежит оси ординат, значит её координаты имеют вид \( M(0; y; 0) \). Это означает, что координаты по оси \( x \) и \( z \) равны нулю, а координата по оси \( y \) неизвестна и её нужно найти. Чтобы найти \( y \), воспользуемся условием, что точка \( M \) равноудалена от точек \( A(2; 3; 1) \) и \( B(4; 1; -5) \). Равенство расстояний записывается как равенство длин векторов \( MA \) и \( MB \).

2. Расстояние между двумя точками в пространстве вычисляется по формуле: \( d = \sqrt{(x_2 — x_1)^2 + (y_2 — y_1)^2 + (z_2 — z_1)^2} \). Подставим координаты: расстояние от \( M \) до \( A \) равно \( \sqrt{(0 — 2)^2 + (y — 3)^2 + (0 — 1)^2} \), а расстояние от \( M \) до \( B \) равно \( \sqrt{(0 — 4)^2 + (y — 1)^2 + (0 + 5)^2} \). Приравняем эти выражения:

\( \sqrt{(0 — 2)^2 + (y — 3)^2 + (0 — 1)^2} = \sqrt{(0 — 4)^2 + (y — 1)^2 + (0 + 5)^2} \).

3. Чтобы избавиться от корней, возведём обе части уравнения в квадрат:

\( (0 — 2)^2 + (y — 3)^2 + (0 — 1)^2 = (0 — 4)^2 + (y — 1)^2 + (0 + 5)^2 \).

Вычислим квадраты:

\( 4 + (y — 3)^2 + 1 = 16 + (y — 1)^2 + 25 \).

Раскроем скобки:

\( 4 + (y^2 — 6y + 9) + 1 = 16 + (y^2 — 2y + 1) + 25 \).

Сложим числа:

\( 5 + y^2 — 6y + 9 = 16 + y^2 — 2y + 1 + 25 \).

Упростим:

\( y^2 — 6y + 14 = y^2 — 2y + 42 \).

Вычтем \( y^2 \) с обеих сторон:

\( -6y + 14 = -2y + 42 \).

Перенесём все члены с \( y \) в одну сторону, числа — в другую:

\( -6y + 2y = 42 — 14 \).

Получим:

\( -4y = 28 \).

Разделим на \(-4\):

\( y = \frac{28}{-4} = -7 \).

Ответ: точка \( M \) с координатами \( (0; -7; 0) \) принадлежит оси ординат и равноудалена от точек \( A \) и \( B \).