ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 1.25 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Найдите точку, принадлежащую оси абсцисс и равноудалённую от точки А (-1; 2; 4) и плоскости уz.

Точка принадлежит оси абсцисс, значит координаты \(M(x;0;0)\).

Расстояние от точки \(M\) до точки \(A(-1;2;4)\) равно расстоянию от \(M\) до плоскости \(yz\).

Расстояние от \(M\) до \(A\):
\(\sqrt{(x+1)^2 + 2^2 + 4^2} = \sqrt{(x+1)^2 + 4 + 16} = \sqrt{(x+1)^2 + 20}\).

Расстояние от \(M\) до плоскости \(yz\) равно \(|x|\).

По условию:
\(\sqrt{(x+1)^2 + 20} = |x|\).

Возводим в квадрат:
\((x+1)^2 + 20 = x^2\).

Раскрываем скобки:
\(x^2 + 2x + 1 + 20 = x^2\).

Сокращаем \(x^2\):
\(2x + 21 = 0\).

Решаем уравнение:
\(2x = -21\),
\(x = -\frac{21}{2} = -10.5\).

Ответ:
\(M(-10.5; 0; 0)\).

Точка принадлежит оси абсцисс, значит ее координаты имеют вид \(M(x;0;0)\), где \(x\) — неизвестное число. Это связано с тем, что на оси абсцисс координаты \(y\) и \(z\) равны нулю.

Далее нужно найти такую точку \(M\), которая равноудалена от точки \(A(-1;2;4)\) и от плоскости \(yz\). Расстояние между двумя точками в пространстве вычисляется по формуле: \(d = \sqrt{(x_2 — x_1)^2 + (y_2 — y_1)^2 + (z_2 — z_1)^2}\). Применим эту формулу к точкам \(M(x;0;0)\) и \(A(-1;2;4)\):

\(MA = \sqrt{(x + 1)^2 + (0 — 2)^2 + (0 — 4)^2} = \sqrt{(x + 1)^2 + 4 + 16}=\)
\( = \sqrt{(x + 1)^2 + 20}\).

Расстояние от точки \(M\) до плоскости \(yz\) равно абсолютному значению координаты \(x\), так как плоскость \(yz\) задается уравнением \(x = 0\). Значит, расстояние равно \(|x|\).

По условию задачи эти расстояния равны:

\(\sqrt{(x + 1)^2 + 20} = |x|\).

Чтобы избавиться от корня, возведем обе части уравнения в квадрат:

\((x + 1)^2 + 20 = x^2\).

Раскроем скобки и упростим:

\(x^2 + 2x + 1 + 20 = x^2\),

\(x^2 + 2x + 21 = x^2\).

Сократим \(x^2\) с обеих сторон:

\(2x + 21 = 0\).

Решим линейное уравнение:

\(2x = -21\),

\(x = -\frac{21}{2} = -10.5\).

Таким образом, точка, удовлетворяющая условию, имеет координаты

\(M(-10.5; 0; 0)\).