ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 1.26 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Найдите точку, принадлежащую оси аппликат и равноудалённую от начала координат и точки М (3; — 6; 9).

Найдём точку \( K(0;0;z) \), лежащую на оси аппликат.

Расстояние от начала координат до \( K \):

\( KO^2 = z^2 \).

Расстояние от точки \( M(3;-6;9) \) до \( K(0;0;z) \):

\( KM^2 = 3^2 + (-6)^2 + (9 — z)^2 = 9 + 36 + (9 — z)^2 = 45 + (9 — z)^2 \).

Так как точка \( K \) равноудалена от начала координат и точки \( M \), приравниваем расстояния:

\( z^2 = 45 + (9 — z)^2 \).

Раскрываем скобки:

\( z^2 = 45 + 81 — 18z + z^2 \).

Сокращаем \( z^2 \) с обеих сторон:

\( 0 = 126 — 18z \).

Решаем уравнение:

\( 18z = 126 \Rightarrow z = 7 \).

Ответ: \( K(0;0;7) \).

1. Для начала определим, что точка \( K \), принадлежащая оси аппликат, имеет координаты вида \( (0; 0; z) \), так как ось аппликат совпадает с осью \( z \). Нам нужно найти такое значение \( z \), при котором расстояние от точки \( K \) до начала координат равно расстоянию от точки \( K \) до заданной точки \( M(3; -6; 9) \).

2. Расстояние от начала координат \( O(0;0;0) \) до точки \( K(0;0;z) \) вычисляется по формуле длины вектора: \( KO = \sqrt{0^2 + 0^2 + z^2} = |z| \). Возводя в квадрат, получаем \( KO^2 = z^2 \).

3. Теперь найдём расстояние от точки \( M(3; -6; 9) \) до точки \( K(0; 0; z) \). По формуле расстояния между двумя точками в пространстве: \( KM = \sqrt{(3 — 0)^2 + (-6 — 0)^2 + (9 — z)^2} \). Возводя в квадрат, получаем \( KM^2 = 3^2 + (-6)^2 + (9 — z)^2 = 9 + 36 + (9 — z)^2 = 45 + (9 — z)^2 \).

4. Поскольку точка \( K \) равноудалена от начала координат и от точки \( M \), приравниваем квадраты расстояний: \( z^2 = 45 + (9 — z)^2 \).

5. Раскрываем скобки в правой части: \( z^2 = 45 + 81 — 18z + z^2 \).

6. Сокращаем одинаковые слагаемые \( z^2 \) с обеих сторон уравнения: \( 0 = 126 — 18z \).

7. Решаем линейное уравнение относительно \( z \): \( 18z = 126 \Rightarrow z = \frac{126}{18} = 7 \).

8. Таким образом, координаты искомой точки \( K \) будут \( (0; 0; 7) \). Эта точка лежит на оси аппликат и равноудалена как от начала координат, так и от точки \( M(3; -6; 9) \).