ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 1.29 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Найдите координаты вершины D параллелограмма ABCD, если A (1; — 2; 2), B (2; 6; 1), C (-1; — 1; 3).

Координаты вершины \(D(x, y, z)\) параллелограмма \(ABCD\) находятся из равенства векторов \(BC = AD\).

Вектор \(BC = C — B = (-1 — 2, -1 — 6, 3 — 1) = (-3, -7, 2)\).

Вектор \(AD = D — A = (x — 1, y + 2, z — 2)\).

Приравниваем компоненты:
\(x — 1 = -3\),
\(y + 2 = -7\),
\(z — 2 = 2\).

Решаем:
\(x = -2\),
\(y = -9\),
\(z = 4\).

Ответ: \(D(-2; -9; 4)\).

1. Для нахождения координат вершины \(D(x, y, z)\) параллелограмма \(ABCD\) используем свойство параллелограмма: векторы, образующие противоположные стороны, равны по модулю и направлению. В частности, вектор \(BC\) равен вектору \(AD\). Это означает, что разность координат точек \(B\) и \(C\) совпадает с разностью координат точек \(A\) и \(D\).

2. Сначала находим координаты вектора \(BC\). Для этого вычитаем координаты точки \(B(2; 6; 1)\) из координат точки \(C(-1; -1; 3)\):
\(BC = (x_C — x_B, y_C — y_B, z_C — z_B) = (-1 — 2, -1 — 6, 3 — 1) = (-3, -7, 2)\).
Таким образом, вектор \(BC\) равен \((-3, -7, 2)\).

3. Теперь выразим вектор \(AD\) через координаты искомой точки \(D(x, y, z)\) и точки \(A(1; -2; 2)\):
\(AD = (x — 1, y — (-2), z — 2) = (x — 1, y + 2, z — 2)\).
Так как \(BC = AD\), приравниваем соответствующие компоненты:
\(x — 1 = -3\),
\(y + 2 = -7\),
\(z — 2 = 2\).
Решая каждое уравнение, получаем:
\(x = -2\),
\(y = -9\),
\(z = 4\).

Ответ: \(D(-2; -9; 4)\).