ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 1.30 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Докажите, что четырёхугольник ABCD с вершинами в точках А (-2; 3; — 1), В (-2; 7; — 6), С (-1; 7; — 6) и D (-1; 3; — 1) является прямоугольником.

1. Пусть \( \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD} \), \( \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} \).

Векторы:
\( \overrightarrow{BC} = (1, 0, 0) \), \( \overrightarrow{AD} = (1, 0, 0) \)
=> \( \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD} \).

\( \overrightarrow{AB} = (6, 4, -5) \), \( \overrightarrow{CD} = (0, 4, -5) \)
=> \( \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} \).

Следовательно, \( ABCD \) — параллелограмм.

2. Пусть \( \overrightarrow{AC} = (1, 4, -5) \), \( \overrightarrow{BD} = (1, 4, -5) \)
=> \( \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BD} \).

Следовательно, \( ABCD \) — прямоугольник.

1. Рассмотрим сначала условие \( \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD} \) и \( \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} \). Это означает, что векторы, соответствующие сторонам параллелограмма, должны быть равны по направлению и длине. В данном случае вектор \( \overrightarrow{BC} \) задан как \( (1, 0, 0) \), и вектор \( \overrightarrow{AD} \) тоже \( (1, 0, 0) \). Поскольку они совпадают, стороны \( BC \) и \( AD \) параллельны и равны по длине.

Далее, вектор \( \overrightarrow{AB} \) равен \( (6, 4, -5) \), а вектор \( \overrightarrow{CD} \) — \( (6, 4, -5) \). Это показывает, что стороны \( AB \) и \( CD \) также равны и параллельны. Из равенств векторов противоположных сторон следует, что фигура с вершинами \( A, B, C, D \) является параллелограммом, так как у неё противоположные стороны равны и параллельны.

Таким образом, исходя из равенств \( \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD} \) и \( \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} \), можно сделать вывод, что \( ABCD \) — параллелограмм.

2. Теперь рассмотрим условие \( \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BD} \). Векторы диагоналей равны: \( \overrightarrow{AC} = (1, 4, -5) \) и \( \overrightarrow{BD} = (1, 4, -5) \). Равенство диагоналей указывает на то, что диагонали параллелограмма равны по длине.

Поскольку в параллелограмме диагонали равны, это означает, что фигура является прямоугольником, так как только в прямоугольнике диагонали равны. Следовательно, по условию \( \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BD} \) можно утверждать, что \( ABCD \) — прямоугольник.

Таким образом, проверка равенства диагоналей позволяет определить, что параллелограмм \( ABCD \) является прямоугольником.