ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 1.31 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Докажите, что четырёхугольник ABCD с вершинами в точках А (4; 2; 10), В (10; — 2; 8), С (4; — 4; 4) и D (-2; 0; 6) является ромбом.

Вычислим векторы сторон:

\( \overrightarrow{BC} = C — B = (4 — 10, -4 — (-2), 4 — 8) = (-6, -2, -4) \)

\( \overrightarrow{AD} = D — A = (-2 — 4, 0 — 2, 6 — 10) = (-6, -2, -4) \)

Так как \( \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD} \), то стороны BC и AD равны и параллельны.

Вычислим векторы других сторон:

\( \overrightarrow{AB} = B — A = (10 — 4, -2 — 2, 8 — 10) = (6, -4, -2) \)

\( \overrightarrow{CD} = D — C = (-2 — 4, 0 — (-4), 6 — 4) = (-6, 4, 2) \)

По модулю:

\(|\overrightarrow{BC}| = \sqrt{(-6)^2 + (-2)^2 + (-4)^2} = \sqrt{36 + 4 + 16} = \sqrt{56}\)

\(|\overrightarrow{AD}| = \sqrt{(-6)^2 + (-2)^2 + (-4)^2} = \sqrt{56}\)

\(|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{6^2 + (-4)^2 + (-2)^2} = \sqrt{36 + 16 + 4} = \sqrt{56}\)

\(|\overrightarrow{CD}| = \sqrt{(-6)^2 + 4^2 + 2^2} = \sqrt{36 + 16 + 4} = \sqrt{56}\)

Все стороны равны по длине.

Следовательно, четырехугольник ABCD является ромбом.

1. Чтобы доказать, что четырёхугольник ABCD является ромбом, нужно показать, что все его стороны равны по длине. Для этого сначала найдём векторы, соответствующие сторонам четырёхугольника. Рассмотрим вектор \( \overrightarrow{BC} \), который получается как разность координат точки C и точки B: \( \overrightarrow{BC} = (4 — 10; -4 — (-2); 4 — 8) = (-6; -2; -4) \). Аналогично найдём вектор \( \overrightarrow{AD} \) как разность координат точки D и точки A: \( \overrightarrow{AD} = (-2 — 4; 0 — 2; 6 — 10) = (-6; -2; -4) \). Видно, что векторы \( \overrightarrow{BC} \) и \( \overrightarrow{AD} \) совпадают, значит стороны BC и AD равны и параллельны.

2. Теперь найдём векторы для других двух сторон четырёхугольника. Вектор \( \overrightarrow{AB} \) равен \( (10 — 4; -2 — 2; 8 — 10) = (6; -4; -2) \), а вектор \( \overrightarrow{CD} \) равен \( (-2 — 4; 0 — (-4); 6 — 4) = (-6; 4; 2) \). Несмотря на то, что векторы \( \overrightarrow{AB} \) и \( \overrightarrow{CD} \) направлены в разные стороны, их длины могут быть равны. Проверим это, вычислив длины всех векторов.

3. Длина вектора находится по формуле \( |\overrightarrow{v}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \), где \( (x; y; z) \) — координаты вектора. Для \( \overrightarrow{BC} \) и \( \overrightarrow{AD} \) длина равна \( \sqrt{(-6)^2 + (-2)^2 + (-4)^2} = \sqrt{36 + 4 + 16} = \sqrt{56} \). Для \( \overrightarrow{AB} \) длина равна \( \sqrt{6^2 + (-4)^2 + (-2)^2} = \sqrt{36 + 16 + 4} = \sqrt{56} \). Для \( \overrightarrow{CD} \) длина равна \( \sqrt{(-6)^2 + 4^2 + 2^2} = \sqrt{36 + 16 + 4} = \sqrt{56} \). Таким образом, все стороны четырёхугольника равны по длине.

Следовательно, так как все стороны ABCD равны и противоположные стороны параллельны, четырёхугольник ABCD является ромбом.