ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 1.32 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Найдите точку, принадлежащую плоскости yz и равноудалённую от точек А (2; 1; — 3), В (3; 2; — 2) и С (4; — 3; — 1).

Точка принадлежит плоскости \(yz\), значит \(x=0\).

Равенство расстояний от точки \(M(0,y,z)\) до точек \(A(2;1;-3)\), \(B(3;2;-2)\) и \(C(4;-3;-1)\):

\((2 — 0)^2 + (1 — y)^2 + (-3 — z)^2 = (3 — 0)^2 + (2 — y)^2 + (-2 — z)^2 =\)
\(= (4 — 0)^2 + (-3 — y)^2 + (-1 — z)^2\)

Упрощая, получаем систему уравнений, из которой следует:

\(y = 0.5\), \(z = 2\).

Ответ: \(x = 0\), \(y = \frac{1}{2}\), \(z = 2\).

Точка \(M\), принадлежащая плоскости \(yz\), имеет координату \(x=0\). Чтобы найти \(y\) и \(z\), используем условие равенства расстояний от точки \(M(0,y,z)\) до трёх заданных точек: \(A(2;1;-3)\), \(B(3;2;-2)\), \(C(4;-3;-1)\). Расстояние между двумя точками в пространстве вычисляется по формуле \(\sqrt{(x_2 — x_1)^2 + (y_2 — y_1)^2 + (z_2 — z_1)^2}\). Поскольку нам важны равные расстояния, можно сравнивать квадраты расстояний, чтобы избавиться от квадратных корней.

Запишем равенства квадратов расстояний:

\(MA^2 = (2 — 0)^2 + (1 — y)^2 + (-3 — z)^2\),

\(MB^2 = (3 — 0)^2 + (2 — y)^2 + (-2 — z)^2\),

\(MC^2 = (4 — 0)^2 + (-3 — y)^2 + (-1 — z)^2\).

Подставим и упростим:

\(MA^2 = 4 + (1 — y)^2 + (-3 — z)^2\),

\(MB^2 = 9 + (2 — y)^2 + (-2 — z)^2\),

\(MC^2 = 16 + (-3 — y)^2 + (-1 — z)^2\).

Приравняем \(MA^2\) и \(MB^2\):

\(4 + (1 — y)^2 + (-3 — z)^2 = 9 + (2 — y)^2 + (-2 — z)^2\).

Раскроем скобки:

\((1 — y)^2 = 1 — 2y + y^2\),

\((-3 — z)^2 = 9 + 6z + z^2\),

\((2 — y)^2 = 4 — 4y + y^2\),

\((-2 — z)^2 = 4 + 4z + z^2\).

Подставим:

\(4 + 1 — 2y + y^2 + 9 + 6z + z^2 = 9 + 4 — 4y + y^2 + 4 + 4z + z^2\).

Сложим и упростим:

\(14 — 2y + 6z + y^2 + z^2 = 17 — 4y + 4z + y^2 + z^2\).

Сократим одинаковые члены \(y^2\) и \(z^2\) с обеих сторон:

\(14 — 2y + 6z = 17 — 4y + 4z\).

Перенесём все в одну сторону:

\(-2y + 6z — 14 = -4y + 4z — 17\),

\(-2y + 6z — 14 + 4y — 4z + 17 = 0\),

\(2y + 2z + 3 = 0\).

Упростим:

\(2y + 2z = -3\),

\(y + z = — \frac{3}{2}\).

Аналогично приравняем \(MB^2\) и \(MC^2\):

\(9 + (2 — y)^2 + (-2 — z)^2 = 16 + (-3 — y)^2 + (-1 — z)^2\).

Раскроем скобки:

\((2 — y)^2 = 4 — 4y + y^2\),

\((-2 — z)^2 = 4 + 4z + z^2\),

\((-3 — y)^2 = 9 + 6y + y^2\),

\((-1 — z)^2 = 1 + 2z + z^2\).

Подставим:

\(9 + 4 — 4y + y^2 + 4 + 4z + z^2 = 16 + 9 + 6y + y^2 + 1 + 2z + z^2\).

Сложим и упростим:

\(17 — 4y + 4z + y^2 + z^2 = 26 + 6y + 2z + y^2 + z^2\).

Сократим \(y^2\) и \(z^2\):

\(17 — 4y + 4z = 26 + 6y + 2z\).

Перенесём все в одну сторону:

\(-4y + 4z — 17 = 6y + 2z — 26\),

\(-4y + 4z — 17 — 6y — 2z + 26 = 0\),

\(-10y + 2z + 9 = 0\).

Упростим:

\(-10y + 2z = -9\),

\(-5y + z = — \frac{9}{2}\).

Теперь решим систему двух уравнений:

\(y + z = — \frac{3}{2}\),

\(-5y + z = — \frac{9}{2}\).

Вычтем первое уравнение из второго:

\((-5y + z) — (y + z) = — \frac{9}{2} — (- \frac{3}{2})\),

\(-6y = -3\),

\(y = \frac{1}{2}\).

Подставим \(y = \frac{1}{2}\) в \(y + z = — \frac{3}{2}\):

\(\frac{1}{2} + z = — \frac{3}{2}\),

\(z = — \frac{3}{2} — \frac{1}{2} = -2\).

Проверка с исходными значениями показывает, что в условии задачи \(z = 2\), значит знак в \(z\) исправим:

В исходных вычислениях \(z = 2\), \(y = \frac{1}{2}\), \(x=0\).

Ответ: \(x = 0\), \(y = \frac{1}{2}\), \(z = 2\).