ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 1.33 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Найдите точку, расстояние от которой до плоскости ху равно 2 и равноудалённую от точек А (1; 0; 0), В (0; 1; 0) и С (0; 0; 1).

Дано: \(z^2 = 2 \Rightarrow z_1 = \sqrt{2}, z_2 = -\sqrt{2}\).

Рассмотрим уравнение:

\(x^2 + y^2 + (z — 1)^2 = x^2 + (y — 1)^2 + z^2\).

Раскроем скобки и упростим:

\((z — 1)^2 = z^2 — 2z + 1\),

\(x^2 + y^2 + z^2 — 2z + 1 = x^2 + y^2 — 2y + 1 + z^2\).

Сократим одинаковые слагаемые:

\(-2z = -2y \Rightarrow y = z\).

Из условия \(x = y = z = \pm \sqrt{2}\).

Ответ: \(M(\sqrt{2}; \sqrt{2}; \sqrt{2})\) и \(M(-\sqrt{2}; -\sqrt{2}; -\sqrt{2})\).

1. Рассмотрим уравнение \(z^2 = 2\). Чтобы найти значения \(z\), нужно извлечь квадратный корень из обеих частей уравнения. Это даёт два корня: положительный и отрицательный, то есть \(z_1 = \sqrt{2}\) и \(z_2 = -\sqrt{2}\). Эти значения \(z\) будут использоваться далее для подстановки в уравнение.

2. Дано уравнение \(x^2 + y^2 + (z — 1)^2 = x^2 + (y — 1)^2 + z^2\). Раскроем скобки в обеих частях. Левая часть раскрывается как \(x^2 + y^2 + (z^2 — 2z + 1)\), а правая часть — как \(x^2 + (y^2 — 2y + 1) + z^2\). После раскрытия уравнение примет вид \(x^2 + y^2 + z^2 — 2z + 1 = x^2 + y^2 — 2y + 1 + z^2\).

3. Теперь сократим одинаковые слагаемые по обеим сторонам: \(x^2\), \(y^2\), \(z^2\) и \(1\) исчезнут, остаётся уравнение \(-2z = -2y\). Разделим обе части на \(-2\), получим равенство \(z = y\). Таким образом, переменные \(y\) и \(z\) равны. Из условия \(x = y = z\), а \(z = \pm \sqrt{2}\), следовательно, \(x = y = z = \pm \sqrt{2}\).

Ответ: точки \(M(\sqrt{2}; \sqrt{2}; \sqrt{2})\) и \(M(-\sqrt{2}; -\sqrt{2}; -\sqrt{2})\).