ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 1.34 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Точки D (-1; 2; 4), E (5; — 2; 1) и F (3; — 3; 5) являются серединами сторон некоторого треугольника. Найдите вершины этого треугольника.

Точки D, E, F — середины сторон треугольника с вершинами A, B, C.

Для координат вершин:

\(D\left(\frac{x_1 + x_2}{2}; \frac{y_1 + y_2}{2}; \frac{z_1 + z_2}{2}\right) = (-1; 2; 4)\)

\(E\left(\frac{x_2 + x_3}{2}; \frac{y_2 + y_3}{2}; \frac{z_2 + z_3}{2}\right) = (5; -2; 1)\)

\(F\left(\frac{x_1 + x_3}{2}; \frac{y_1 + y_3}{2}; \frac{z_1 + z_3}{2}\right) = (3; -3; 5)\)

Составляем систему уравнений:

\[
\begin{cases}
\frac{x_1 + x_2}{2} = -1, & \frac{y_1 + y_2}{2} = 2, & \frac{z_1 + z_2}{2} = 4 \\
\frac{x_2 + x_3}{2} = 5, & \frac{y_2 + y_3}{2} = -2, & \frac{z_2 + z_3}{2} = 1 \\
\frac{x_1 + x_3}{2} = 3, & \frac{y_1 + y_3}{2} = -3, & \frac{z_1 + z_3}{2} = 5
\end{cases}
\]

Умножаем каждое уравнение на 2:

\[
\begin{cases}
x_1 + x_2 = -2, & y_1 + y_2 = 4, & z_1 + z_2 = 8 \\
x_2 + x_3 = 10, & y_2 + y_3 = -4, & z_2 + z_3 = 2 \\
x_1 + x_3 = 6, & y_1 + y_3 = -6, & z_1 + z_3 = 10
\end{cases}
\]

Решая систему, получаем:

\(x_1 = -3, y_1 = 1, z_1 = 8\)

\(x_2 = 1, y_2 = 3, z_2 = 0\)

\(x_3 = 9, y_3 = -7, z_3 = 2\)

Ответ: \(A(-3; 1; 8), B(1; 3; 0), C(9; -7; 2)\)

Точки D, E и F являются серединами сторон треугольника с вершинами A, B и C. Это значит, что координаты точек D, E и F равны средним арифметическим координат соответствующих вершин треугольника. Пусть вершины треугольника имеют координаты \(A(x_1; y_1; z_1)\), \(B(x_2; y_2; z_2)\), \(C(x_3; y_3; z_3)\). Тогда по условию:

\(D\) — середина отрезка \(AB\), значит \(D\left(\frac{x_1 + x_2}{2}; \frac{y_1 + y_2}{2}; \frac{z_1 + z_2}{2}\right) = (-1; 2; 4)\).

\(E\) — середина отрезка \(BC\), значит \(E\left(\frac{x_2 + x_3}{2}; \frac{y_2 + y_3}{2}; \frac{z_2 + z_3}{2}\right) = (5; -2; 1)\).

\(F\) — середина отрезка \(AC\), значит \(F\left(\frac{x_1 + x_3}{2}; \frac{y_1 + y_3}{2}; \frac{z_1 + z_3}{2}\right) = (3; -3; 5)\).

Из этих равенств составляем систему уравнений по каждой координате:

\[
\begin{cases}
\frac{x_1 + x_2}{2} = -1, & \frac{y_1 + y_2}{2} = 2, & \frac{z_1 + z_2}{2} = 4 \\
\frac{x_2 + x_3}{2} = 5, & \frac{y_2 + y_3}{2} = -2, & \frac{z_2 + z_3}{2} = 1 \\
\frac{x_1 + x_3}{2} = 3, & \frac{y_1 + y_3}{2} = -3, & \frac{z_1 + z_3}{2} = 5
\end{cases}
\]

Умножаем каждое уравнение на 2, чтобы избавиться от знаменателей:

\[
\begin{cases}
x_1 + x_2 = -2, & y_1 + y_2 = 4, & z_1 + z_2 = 8 \\
x_2 + x_3 = 10, & y_2 + y_3 = -4, & z_2 + z_3 = 2 \\
x_1 + x_3 = 6, & y_1 + y_3 = -6, & z_1 + z_3 = 10
\end{cases}
\]

Теперь решаем систему уравнений по каждой координате отдельно. Для координат \(x\):

\[
\begin{cases}
x_1 + x_2 = -2 \\
x_2 + x_3 = 10 \\
x_1 + x_3 = 6
\end{cases}
\]

Складываем первые и третье уравнения, вычитаем второе:

\((x_1 + x_2) + (x_1 + x_3) — (x_2 + x_3) = -2 + 6 — 10\)

\(x_1 + x_2 + x_1 + x_3 — x_2 — x_3 = -6\)

\(2x_1 = -6\)

Отсюда \(x_1 = -3\).

Подставляем \(x_1 = -3\) в первое уравнение:

\(-3 + x_2 = -2\) значит \(x_2 = 1\).

Подставляем \(x_2 = 1\) во второе уравнение:

\(1 + x_3 = 10\) значит \(x_3 = 9\).

Аналогично для координат \(y\):

\[
\begin{cases}
y_1 + y_2 = 4 \\
y_2 + y_3 = -4 \\
y_1 + y_3 = -6
\end{cases}
\]

Складываем первое и третье уравнения, вычитаем второе:

\((y_1 + y_2) + (y_1 + y_3) — (y_2 + y_3) = 4 + (-6) — (-4)\)

\(y_1 + y_2 + y_1 + y_3 — y_2 — y_3 = 2\)

\(2y_1 = 2\)

Отсюда \(y_1 = 1\).

Подставляем \(y_1 = 1\) в первое уравнение:

\(1 + y_2 = 4\) значит \(y_2 = 3\).

Подставляем \(y_2 = 3\) во второе уравнение:

\(3 + y_3 = -4\) значит \(y_3 = -7\).

Для координат \(z\):

\[
\begin{cases}
z_1 + z_2 = 8 \\
z_2 + z_3 = 2 \\
z_1 + z_3 = 10
\end{cases}
\]

Складываем первое и третье уравнения, вычитаем второе:

\((z_1 + z_2) + (z_1 + z_3) — (z_2 + z_3) = 8 + 10 — 2\)

\(z_1 + z_2 + z_1 + z_3 — z_2 — z_3 = 16\)

\(2z_1 = 16\)

Отсюда \(z_1 = 8\).

Подставляем \(z_1 = 8\) в первое уравнение:

\(8 + z_2 = 8\) значит \(z_2 = 0\).

Подставляем \(z_2 = 0\) во второе уравнение:

\(0 + z_3 = 2\) значит \(z_3 = 2\).

Итоговые координаты вершин треугольника:

\(A(-3; 1; 8)\), \(B(1; 3; 0)\), \(C(9; -7; 2)\).