ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 1.35 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны координаты четырёх вершин: А (2; — 1; 1), В (1; 3; 4), D (6; 0; 1), А1 (4; 2; 0). Найдите координаты остальных вершин параллелепипеда.

В параллелепипеде известны вершины \( A(2; -1; 1) \), \( B(1; 3; 4) \), \( D(6; 0; 1) \), \( A_1(4; 2; 0) \).

Координаты остальных вершин находятся по формулам:

\( B_1 = B + A_1 — A = (1; 3; 4) + (4; 2; 0) — (2; -1; 1) = (3; 6; 3) \)

\( C_1 = D + A_1 — A = (6; 0; 1) + (4; 2; 0) — (2; -1; 1) = (8; 3; 0) \)

\( C = B + D — A = (1; 3; 4) + (6; 0; 1) — (2; -1; 1) = (5; 4; 4) \)

Ответ:

\( B_1(3; 6; 3) \), \( C_1(8; 3; 0) \), \( C(5; 4; 4) \).

В параллелепипеде заданы координаты четырёх вершин: \( A(2; -1; 1) \), \( B(1; 3; 4) \), \( D(6; 0; 1) \), \( A_1(4; 2; 0) \). Для нахождения координат остальных вершин нужно использовать свойства параллелепипеда, а именно, что противоположные ребра равны и параллельны. Это позволяет выразить недостающие вершины через известные.

Первая вершина \( B_1 \) находится как сумма вектора \( B — A \) и координат точки \( A_1 \). То есть вычисляем смещение от \( A \) к \( B \), и переносим это смещение от \( A_1 \):

\( B_1 = A_1 + (B — A) = (4; 2; 0) + (1; 3; 4) — (2; -1; 1) = (4; 2; 0) + (-1; 4; 3) =\)
\(= (3; 6; 3) \).

Вторая вершина \( C_1 \) находится аналогично: переносим вектор \( D — A \) от точки \( A_1 \):

\( C_1 = A_1 + (D — A) = (4; 2; 0) + (6; 0; 1) — (2; -1; 1) = (4; 2; 0)+\)
\( + (4; 1; 0) = (8; 3; 0) \).

Третья вершина \( C \) получается как сумма векторов \( B — A \) и \( D — A \), прибавленных к точке \( A \):

\( C = A + (B — A) + (D — A) = (2; -1; 1) + (1; 3; 4) — (2; -1; 1) +\)
\(+ (6; 0; 1) — (2; -1; 1) = (2; -1; 1) + (-1; 4; 3) + (4; 1; 0) = (5; 4; 4) \).

Таким образом, используя свойства параллелепипеда и операции с векторами, мы нашли координаты трёх неизвестных вершин: \( B_1(3; 6; 3) \), \( C_1(8; 3; 0) \), \( C(5; 4; 4) \).