ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 1.36 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

В треугольнике АВС проведена биссектриса АК. Найдите координаты точки К, если А (5; 3; — 4), В (2; — 1; — 4), С (-7; 3; 1).

В треугольнике ABC проведена биссектриса AK.

Координаты точек:
\( A(5; 3; -4) \), \( B(2; -1; -4) \), \( C(-7; 3; 1) \).

Биссектриса делит сторону BC в отношении длин отрезков AB и AC, то есть
\(\frac{BK}{KC} = \frac{AB}{AC}\).

Вычислим длины:
\( AB = \sqrt{(2-5)^2 + (-1-3)^2 + (-4+4)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-4)^2 + 0^2}=\)
\( = \sqrt{9 + 16} = 5 \).

\( AC = \sqrt{(-7-5)^2 + (3-3)^2 + (1+4)^2} = \sqrt{(-12)^2 + 0 + 5^2}=\)
\( = \sqrt{144 + 25} = 13 \).

Точка K делит BC в отношении 5:13.

Координаты K по формуле деления отрезка:
\( K = \left( \frac{5 \cdot (-7) + 13 \cdot 2}{5+13}; \frac{5 \cdot 3 + 13 \cdot (-1)}{5+13}; \frac{5 \cdot 1 + 13 \cdot (-4)}{5+13} \right) \).

Вычислим:
\( x_K = \frac{-35 + 26}{18} = \frac{-9}{18} = -\frac{1}{2} \),
\( y_K = \frac{15 — 13}{18} = \frac{2}{18} = \frac{1}{9} \),
\( z_K = \frac{5 — 52}{18} = \frac{-47}{18} \).

Ответ:
\( K \left(-\frac{1}{2}; \frac{1}{9}; -\frac{47}{18}\right) \).

1. В треугольнике \(ABC\) проведена биссектриса \(AK\), которая делит сторону \(BC\) в отношении длин отрезков \(AB\) и \(AC\). Это ключевое свойство биссектрисы — она разбивает противоположную сторону на части, пропорциональные прилегающим сторонам. Координаты точек заданы: \(A(5; 3; -4)\), \(B(2; -1; -4)\), \(C(-7; 3; 1)\). Чтобы определить координаты точки \(K\), необходимо сначала вычислить длины отрезков \(AB\) и \(AC\), поскольку отношение этих длин определит, как именно точка \(K\) делит сторону \(BC\).

2. Рассчитаем длину отрезка \(AB\) по формуле расстояния между двумя точками в пространстве: \(AB = \sqrt{(x_B — x_A)^2 + (y_B — y_A)^2 + (z_B — z_A)^2}\). Подставляя значения, получаем: \(AB = \sqrt{(2 — 5)^2 + (-1 — 3)^2 + (-4 + 4)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-4)^2 + 0^2} =\)
\(= \sqrt{9 + 16 + 0} = \sqrt{25} = 5\). Аналогично вычислим длину \(AC\): \(AC = \sqrt{(-7 — 5)^2 + (3 — 3)^2 + (1 + 4)^2} = \sqrt{(-12)^2 + 0^2 + 5^2} =\)
\(= \sqrt{144 + 0 + 25} = \sqrt{169} = 13\). Таким образом, длины отрезков \(AB\) и \(AC\) равны 5 и 13 соответственно.

3. Теперь, зная, что биссектриса делит сторону \(BC\) в отношении \(BK : KC = AB : AC = 5 : 13\), можно найти координаты точки \(K\) по формуле внутреннего деления отрезка \(BC\) в отношении \(m : n = 5 : 13\): \(K = \left( \frac{m x_C + n x_B}{m + n}; \frac{m y_C + n y_B}{m + n}; \frac{m z_C + n z_B}{m + n} \right)\). Подставляя данные: \(x_K = \frac{5 \cdot (-7) + 13 \cdot 2}{5 + 13} = \frac{-35 + 26}{18} = \frac{-9}{18} = -\frac{1}{2}\), \(y_K = \frac{5 \cdot 3 + 13 \cdot (-1)}{18} = \frac{15 — 13}{18} = \frac{2}{18} = \frac{1}{9}\), \(z_K = \frac{5 \cdot 1 + 13 \cdot (-4)}{18} = \frac{5 — 52}{18} = \frac{-47}{18}\). Таким образом, координаты точки \(K\) равны \( \left(-\frac{1}{2}; \frac{1}{9}; -\frac{47}{18}\right) \).