ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 1.37 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Отрезок ВМ — биссектриса треугольника АВС. Найдите координаты точки М, если А (3; 1; — 3), В (7; — 1; 1), С (1; 7; 1).

Отрезок \(BM\) — биссектриса треугольника \(ABC\). Координаты точек: \(A(3; 1; -3)\), \(B(7; -1; 1)\), \(C(1; 7; 1)\).

По теореме о биссектрисе:

\(\frac{BA}{BC} = \frac{AM}{MC}\).

Вычислим длины векторов:

\(BA = \sqrt{(3-7)^2 + (1+1)^2 + (-3-1)^2} = \sqrt{(-4)^2 + 2^2 + (-4)^2} =\)
\(= \sqrt{16 + 4 + 16} = \sqrt{36} = 6\),

\(BC = \sqrt{(1-7)^2 + (7+1)^2 + (1-1)^2} = \sqrt{(-6)^2 + 8^2 + 0} =\)
\(= \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10\).

Точка \(M\) лежит на отрезке \(BC\), и делит его в отношении \(BA : AC = 6 : 4 = 3 : 2\).

Координаты \(M\) по формуле деления отрезка:

\(M = \left(\frac{3 \cdot 1 + 2 \cdot 7}{3+2}; \frac{3 \cdot 7 + 2 \cdot (-1)}{3+2}; \frac{3 \cdot 1 + 2 \cdot 1}{3+2}\right) = \left(\frac{3 + 14}{5}; \frac{21 — 2}{5}; \frac{3 + 2}{5}\right) = \left(\frac{17}{5}; \frac{19}{5}; 1\right)\).

Ответ: \(M\left(\frac{17}{5}; \frac{19}{5}; 1\right)\).

1. Отрезок \(BM\) является биссектрисой треугольника \(ABC\). Это значит, что точка \(M\) лежит на стороне \(AC\) и делит её в отношении, равном отношению длин сторон \(AB\) и \(BC\). Для начала найдём длины отрезков \(AB\) и \(BC\) по координатам точек. Координаты: \(A(3; 1; -3)\), \(B(7; -1; 1)\), \(C(1; 7; 1)\). Длина вектора \(BA\) равна \( \sqrt{(3-7)^2 + (1+1)^2 + (-3-1)^2} = \sqrt{(-4)^2 + 2^2 + (-4)^2} =\)
\(= \sqrt{16 + 4 + 16} = \sqrt{36} = 6 \). Аналогично длина вектора \(BC\) равна \( \sqrt{(1-7)^2 + (7+1)^2 + (1-1)^2} = \sqrt{(-6)^2 + 8^2 + 0^2} =\)
\(= \sqrt{36 + 64 + 0} = \sqrt{100} = 10 \).

2. Теперь, используя свойство биссектрисы, точка \(M\) делит сторону \(AC\) в отношении \(BA : BC = 6 : 10 = 3 : 5\). Это означает, что длина отрезка \(AM\) относится к длине отрезка \(MC\) как 3 к 5. Для нахождения координат точки \(M\) применим формулу внутреннего деления отрезка: \( M = \left( \frac{m x_C + n x_A}{m+n}; \frac{m y_C + n y_A}{m+n}; \frac{m z_C + n z_A}{m+n} \right) \), где \(m\) и \(n\) — части, на которые делится отрезок \(AC\), то есть \(m=3\), \(n=5\).

3. Подставим значения координат \(A(3; 1; -3)\) и \(C(1; 7; 1)\) в формулу: \( x_M = \frac{3 \cdot 1 + 5 \cdot 3}{3+5} = \frac{3 + 15}{8} = \frac{18}{8} = \frac{9}{4} \), \( y_M = \frac{3 \cdot 7 + 5 \cdot 1}{8} = \frac{21 + 5}{8} = \frac{26}{8} = \frac{13}{4} \), \( z_M = \frac{3 \cdot 1 + 5 \cdot (-3)}{8} = \frac{3 — 15}{8} = \frac{-12}{8} = \frac{-3}{2} \). Таким образом, координаты точки \(M\) равны \( \left(\frac{9}{4}; \frac{13}{4}; \frac{-3}{2}\right) \).