ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 1.39 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Сторона основания правильной треугольной призмы ABCA,B,C1 равна 2 см, а боковое ребро равно 4 см. Точки К и М — середины рёбер BB1 и А1С, соответственно. Найдите расстояние от точки М до точки пересечения медиан треугольника АКС.

Сторона основания правильной треугольной призмы \(ABCA_1B_1C_1\) равна 2 см, боковое ребро равно 4 см. Точки \(K\) и \(M\) — середины рёбер \(BB_1\) и \(A_1C_1\).

Найдём координаты точек для удобства:

— \(A = (0,0,0)\),
— \(B = (2,0,0)\),
— \(C = (1,\sqrt{3},0)\),
— \(A_1 = (0,0,4)\),
— \(B_1 = (2,0,4)\),
— \(C_1 = (1,\sqrt{3},4)\).

Точка пересечения медиан \(O\) — центр тяжести треугольника \(AKC\):

\(O = \left(\frac{0+2+1}{3}, \frac{0+0+\sqrt{3}}{3}, \frac{0+2+0}{3}\right) = \left(1, \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{2}{3}\right)\).

Теперь найдём расстояние \(MO\):

\(M = \left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 4\right)\),
\(O = \left(1, \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{2}{3}\right)\).

Расстояние
\(MO = \sqrt{\left(1 — \frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{3} — \frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(\frac{2}{3} — 4\right)^2}\).

Вычислим:
\(\left(1 — \frac{1}{2}\right)^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}\),
\(\left(\frac{\sqrt{3}}{3} — \frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \left(\sqrt{3}\left(\frac{1}{3} — \frac{1}{2}\right)\right)^2 = \left(\sqrt{3} \cdot \left(-\frac{1}{6}\right)\right)^2 = \left(-\frac{\sqrt{3}}{6}\right)^2 = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}\),
\(\left(\frac{2}{3} — 4\right)^2 = \left(-\frac{10}{3}\right)^2 = \frac{100}{9}\).

Суммируем:
\(\frac{1}{4} + \frac{1}{12} + \frac{100}{9} = \frac{3}{12} + \frac{1}{12} + \frac{400}{36} = \frac{4}{12} + \frac{400}{36} = \frac{1}{3} + \frac{400}{36} = \frac{12}{36} + \frac{400}{36} = \frac{103}{9}\).

Тогда
\(MO = \sqrt{\frac{103}{9}} = \frac{\sqrt{103}}{3}\).

Ответ: \(MO = \frac{\sqrt{103}}{3}\).

1. Рассмотрим правильную треугольную призму \(ABCA_1B_1C_1\), у которой сторона основания равна 2 см, а боковое ребро — 4 см. Для удобства введём систему координат. Пусть точка \(A\) находится в начале координат: \(A = (0,0,0)\). Тогда, так как основание — правильный треугольник со стороной 2, положим \(B = (2,0,0)\). Точка \(C\) будет расположена так, чтобы образовать равносторонний треугольник, и её координаты будут \(C = \left(1, \sqrt{3}, 0\right)\), где \(\sqrt{3}\) — высота равностороннего треугольника со стороной 2.

2. Боковые рёбра призмы вертикальны и равны 4 см. Значит, точки верхнего основания имеют те же координаты по \(x\) и \(y\), но \(z=4\): \(A_1 = (0,0,4)\), \(B_1 = (2,0,4)\), \(C_1 = \left(1, \sqrt{3}, 4\right)\). Теперь найдём точки \(K\) и \(M\), которые являются серединами рёбер \(BB_1\) и \(A_1C_1\) соответственно. Середина отрезка находится по формуле среднего арифметического координат концов отрезка. Тогда
\(K = \left(\frac{2+2}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+4}{2}\right) = (2, 0, 2)\),
\(M = \left(\frac{0+1}{2}, \frac{0+\sqrt{3}}{2}, \frac{4+4}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 4\right)\).

3. Следующий шаг — найти точку пересечения медиан треугольника \(AKC\). Медиана — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Найдём середины сторон треугольника \(AKC\):

— Середина \(KC\):
\(K = (2,0,2)\), \(C = (1, \sqrt{3}, 0)\),
\(S_{KC} = \left(\frac{2+1}{2}, \frac{0+\sqrt{3}}{2}, \frac{2+0}{2}\right) = \left(\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1\right)\).

— Середина \(AC\):
\(A = (0,0,0)\), \(C = (1, \sqrt{3}, 0)\),
\(S_{AC} = \left(\frac{0+1}{2}, \frac{0+\sqrt{3}}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0\right)\).

— Середина \(AK\):
\(A = (0,0,0)\), \(K = (2,0,2)\),
\(S_{AK} = \left(\frac{0+2}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+2}{2}\right) = (1, 0, 1)\).

4. Точка пересечения медиан — это центр тяжести треугольника, координаты которого равны среднему арифметическому координат трёх вершин:
\(O = \left(\frac{x_A + x_K + x_C}{3}, \frac{y_A + y_K + y_C}{3}, \frac{z_A + z_K + z_C}{3}\right)\). Подставим значения:
\(O = \left(\frac{0 + 2 + 1}{3}, \frac{0 + 0 + \sqrt{3}}{3}, \frac{0 + 2 + 0}{3}\right) = \left(1, \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{2}{3}\right)\).

5. Теперь найдём расстояние от точки \(M\) до точки пересечения медиан \(O\). Используем формулу расстояния между двумя точками в пространстве:
\(MO = \sqrt{(x_M — x_O)^2 + (y_M — y_O)^2 + (z_M — z_O)^2}\),
где \(M = \left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 4\right)\), \(O = \left(1, \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{2}{3}\right)\).

Вычислим разности координат:
\(x_M — x_O = \frac{1}{2} — 1 = -\frac{1}{2}\),
\(y_M — y_O = \frac{\sqrt{3}}{2} — \frac{\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}\left(\frac{1}{2} — \frac{1}{3}\right) = \sqrt{3} \cdot \frac{1}{6} = \frac{\sqrt{3}}{6}\),
\(z_M — z_O = 4 — \frac{2}{3} = \frac{12}{3} — \frac{2}{3} = \frac{10}{3}\).

Подставим в формулу расстояния:
\(MO = \sqrt{\left(-\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{6}\right)^2 + \left(\frac{10}{3}\right)^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{36} + \frac{100}{9}}\).

Приведём к общему знаменателю:
\(\frac{1}{4} = \frac{9}{36}\),
\(\frac{3}{36} = \frac{3}{36}\),
\(\frac{100}{9} = \frac{400}{36}\).

Сложим:
\(\frac{9}{36} + \frac{3}{36} + \frac{400}{36} = \frac{412}{36}\).

Вынесем корень:
\(MO = \sqrt{\frac{412}{36}} = \frac{\sqrt{412}}{6}\).

Упростим корень:
\(412 = 4 \cdot 103\), значит
\(\sqrt{412} = \sqrt{4 \cdot 103} = 2 \sqrt{103}\).

Итог:
\(MO = \frac{2 \sqrt{103}}{6} = \frac{\sqrt{103}}{3}\).

Ответ: расстояние от точки \(M\) до точки пересечения медиан треугольника \(AKC\) равно \( \frac{\sqrt{103}}{3} \).