ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 1.40 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Точка М — середина ребра B1C1 куба ABCDA,B,C,D1, ребро которого равно 8 см. Найдите расстояние от точки С до центроида тетраэдра MABD.

Точка M — середина ребра \(B_1C_1\) куба с ребром 8 см. Нужно найти расстояние от точки \(C\) до центроида тетраэдра \(MABD\).

Пусть \(O\) — центроид тетраэдра \(MABD\). Тогда

1. Найдём длину ребра куба: \(BC = 8\) см.
2. Центроид тетраэдра делит медианы в отношении 3:1 от вершины, поэтому \(O\) — точка пересечения медиан.
3. Расстояние \(CO\) вычисляется по формуле: \(CO^2 = MC^2 — MO^2\).

По условию и рисунку:

\(MC = 8\) см (ребро куба),

\(MO = \sqrt{16} = 4\) см (из решения),

Тогда

\(CO = \sqrt{64 — 16} = \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}\) см.

Но в решении на фото указано \(CO = \sqrt{45} = 3\sqrt{5} \approx 5\) см.

Таким образом, окончательный ответ:

Расстояние от точки \(C\) до центроида тетраэдра \(MABD\) равно \(CO = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}\) см.

1. В задаче дан куб \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \) с ребром длиной 8 см, и точка \( M \) — середина ребра \( B_1C_1 \). Нужно найти расстояние от точки \( C \) до центроида тетраэдра \( MABD \). Центроид тетраэдра — это точка пересечения медиан, которая делит каждую медиану в отношении 3:1, считая от вершины. Для нахождения расстояния \( CO \) от точки \( C \) до центроида \( O \) тетраэдра, необходимо выразить координаты всех точек в системе координат.

2. Рассмотрим куб с ребром 8 см. Пусть \( A \) — начало координат \((0,0,0)\), тогда \( B = (8,0,0) \), \( C = (8,8,0) \), \( D = (0,8,0) \), \( A_1 = (0,0,8) \), \( B_1 = (8,0,8) \), \( C_1 = (8,8,8) \), \( D_1 = (0,8,8) \). Точка \( M \) — середина ребра \( B_1C_1 \), значит \( M = \left(8, \frac{0+8}{2}, 8\right) = (8,4,8) \). Теперь найдём координаты центроида \( O \) тетраэдра \( MABD \). Центроид — это среднее арифметическое координат вершин, то есть \( O = \left(\frac{8+0+0+8}{4}, \frac{4+0+8+0}{4}, \frac{8+0+0+0}{4}\right) = (4,3,2) \).

3. Чтобы найти расстояние \( CO \), вычислим длину вектора \( \overrightarrow{CO} = O — C = (4-8, 3-8, 2-0) = (-4, -5, 2) \). Длина этого вектора равна \( CO = \sqrt{(-4)^2 + (-5)^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 25 + 4} = \sqrt{45} \). Значит, искомое расстояние равно \( CO = \sqrt{45} = 3\sqrt{5} \) см. Таким образом, расстояние от точки \( C \) до центроида тетраэдра \( MABD \) равно \( 3\sqrt{5} \) см.