ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 1.42 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Дан прямоугольник ABCD. Докажите, что для любой точки Х пространства выполняется равенство \(ХА^2 + ХС^2 = ХВ^2 + ХD^2\).

Дан прямоугольник ABCD и точка X с координатами (x; y).

Введём координатную систему так, что:
\( A = (0; 0) \),
\( D = (a; 0) \),
\( B = (0; c) \),
\( C = (a; c) \),
\( X = (x; y) \).

Тогда расстояния:
\( XA^2 = x^2 + y^2 \),
\( XC^2 = (a — x)^2 + (c — y)^2 \),
\( XB^2 = x^2 + (c — y)^2 \),
\( XD^2 = (a — x)^2 + y^2 \).

Складываем:
\( XA^2 + XC^2 = x^2 + y^2 + (a — x)^2 + (c — y)^2 \),

\( XB^2 + XD^2 = x^2 + (c — y)^2 + (a — x)^2 + y^2 \).

Поскольку выражения совпадают, имеем равенство:
\( XA^2 + XC^2 = XB^2 + XD^2 \).

Рассмотрим прямоугольник ABCD и произвольную точку X с координатами (x; y) на плоскости. Для удобства введём систему координат так, чтобы точка A была в начале координат, то есть \( A = (0; 0) \). Пусть длина стороны AD равна a, а длина стороны AB равна c. Тогда точки D, B и C будут иметь координаты соответственно: \( D = (a; 0) \), \( B = (0; c) \), \( C = (a; c) \).

Далее найдём квадраты расстояний от точки X до вершин прямоугольника. Расстояние от X до A вычисляется по формуле расстояния между двумя точками: \( XA^2 = (x — 0)^2 + (y — 0)^2 = x^2 + y^2 \). Аналогично для точки C: \( XC^2 = (x — a)^2 + (y — c)^2 \). Для точки B: \( XB^2 = (x — 0)^2 + (y — c)^2 = x^2 + (y — c)^2 \), и для точки D: \( XD^2 = (x — a)^2 + (y — 0)^2 = (x — a)^2 + y^2 \).

Теперь сложим квадраты расстояний по условию: \( XA^2 + XC^2 = x^2 + y^2 + (x — a)^2 + (y — c)^2 \) и \( XB^2 + XD^2 = x^2 + (y — c)^2 + (x — a)^2 + y^2 \). Видно, что выражения совпадают, так как в обеих суммах присутствуют одни и те же слагаемые, только в разном порядке. Следовательно, для любой точки X выполняется равенство \( XA^2 + XC^2 = XB^2 + XD^2 \), что и требовалось доказать.