ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 1.43 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Точки M, N и К принадлежат соответственно рёбрам AA1, В1С, и CD куба ABCDA B1C1D1 с ребром 1. Какое наименьшее значение может принимать сумма \(MN^2 + NK^2 + КМ^2\)?

Точки \(M, N\) и \(K\) принадлежат соответственно рёбрам \(AA_1\), \(B_1C_1\) и \(CD\) куба \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) с ребром 1. Нужно найти наименьшее значение суммы \(MN^2 + NK^2 + KM^2\).

Краткое решение:

Пусть длина ребра куба равна 1. Координаты точек можно задать так, чтобы упростить вычисления. Тогда минимизация суммы квадратов расстояний сводится к поиску минимальной суммы квадратов отрезков, соединяющих точки на рёбрах.

Минимальное значение суммы равно \(\frac{9}{2}\).

Ответ: \( \frac{9}{2} \).

1. Рассмотрим куб с ребром длины 1 и обозначим его вершины: \(A, B, C, D\) – нижнее основание, а \(A_1, B_1, C_1, D_1\) – верхнее основание. Точки \(M, N, K\) лежат на рёбрах \(AA_1\), \(B_1C_1\) и \(CD\) соответственно. Пусть координаты вершин куба будут: \(A(0,0,0)\), \(B(1,0,0)\), \(C(1,1,0)\), \(D(0,1,0)\), \(A_1(0,0,1)\), \(B_1(1,0,1)\), \(C_1(1,1,1)\), \(D_1(0,1,1)\).

2. Точка \(M\) лежит на ребре \(AA_1\), значит её координаты можно записать как \(M(0,0,m)\), где \(0 \le m \le 1\). Точка \(N\) лежит на ребре \(B_1C_1\), её координаты \(N(1,n,1)\), где \(0 \le n \le 1\). Точка \(K\) лежит на ребре \(CD\), её координаты \(K(k,1,0)\), где \(0 \le k \le 1\).

3. Теперь запишем выражения для квадратов расстояний между точками:

— \(MN^2 = (1-0)^2 + (n-0)^2 + (1 — m)^2 = 1 + n^2 + (1 — m)^2\),
— \(NK^2 = (k — 1)^2 + (1 — n)^2 + (0 — 1)^2 = (k — 1)^2 + (1 — n)^2 + 1\),
— \(KM^2 = (0 — k)^2 + (0 — 1)^2 + (m — 0)^2 = k^2 + 1 + m^2\).

Сумма квадратов:

\(
MN^2 + NK^2 + KM^2 = 1 + n^2 + (1 — m)^2 + (k — 1)^2 + (1 — n)^2 + 1 +\)
\(+ k^2 + 1 + m^2.
\)

4. Упростим сумму:

\(
= (1 + 1 + 1) + n^2 + (1 — m)^2 + (k — 1)^2 + (1 — n)^2 + k^2 + m^2 =\)
\(= 3 + n^2 + (1 — m)^2 + (k — 1)^2 + (1 — n)^2 + k^2 + m^2.
\)

Раскроем скобки:

\(
(1 — m)^2 = 1 — 2m + m^2, \quad (k — 1)^2 = k^2 — 2k + 1,\)
\( \quad (1 — n)^2 = 1 — 2n + n^2.
\)

Подставим:

\(
3 + n^2 + 1 — 2m + m^2 + k^2 — 2k + 1 + 1 — 2n + n^2 + k^2 + m^2.
\)

Соберём подобные члены:

\(
3 + 1 + 1 + 1 + n^2 + n^2 + m^2 + m^2 + k^2 + k^2 — 2m — 2k — 2n=\)
\( = 6 + 2n^2 + 2m^2 + 2k^2 — 2m — 2k — 2n.
\)

5. Для минимизации функции

\(
f(m,n,k) = 2m^2 + 2n^2 + 2k^2 — 2m — 2n — 2k + 6,
\)

найдём частные производные и приравняем к нулю:

\(
\frac{\partial f}{\partial m} = 4m — 2 = 0 \Rightarrow m = \frac{1}{2},
\)
\(
\frac{\partial f}{\partial n} = 4n — 2 = 0 \Rightarrow n = \frac{1}{2},
\)
\(
\frac{\partial f}{\partial k} = 4k — 2 = 0 \Rightarrow k = \frac{1}{2}.
\)

6. Подставим найденные значения в функцию:

\(
f\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right) = 2 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 + 2 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 + 2 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 — 2 \cdot \frac{1}{2} — 2 \cdot \frac{1}{2} — 2 \cdot \frac{1}{2} + 6.
\)

Вычислим:

\(
= 2 \cdot \frac{1}{4} + 2 \cdot \frac{1}{4} + 2 \cdot \frac{1}{4} — 1 — 1 — 1 + 6 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} — 3 + 6 = \frac{3}{2} + 3 = \frac{9}{2}.
\)

Ответ: наименьшее значение суммы \(MN^2 + NK^2 + KM^2\) равно \(\frac{9}{2}\).