ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 1.47 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

По разные стороны от центра окружности проведены две параллельные хорды длиной 16 см и 10 см. Найдите радиус окружности, если расстояние между хордами равно 9 см.

Даны две параллельные хорды длиной 16 см и 10 см, расстояние между ними 9 см. Обозначим:

\( KO = x \), \( OH = 9 — x \).

Для треугольника \( KDO \):

\( OD^2 = AK^2 + KO^2 \Rightarrow OD^2 = 25 + x^2 \) (так как половина хорды 10 см равна 5 см).

Для треугольника \( COH \):

\( OD^2 = CH^2 + OH^2 \Rightarrow OD^2 = 64 + (9 — x)^2 \) (половина хорды 16 см равна 8 см).

Приравниваем:

\( 25 + x^2 = 64 + (9 — x)^2 \)

Раскрываем скобки:

\( 25 + x^2 = 64 + 81 — 18x + x^2 \)

Сокращаем \( x^2 \):

\( 25 = 145 — 18x \)

Переносим:

\( 18x = 145 — 25 = 120 \)

\( x = \frac{120}{18} = \frac{20}{3} \).

Рассчитаем радиус \( OD \):

\( OD = \sqrt{25 + \left(\frac{20}{3}\right)^2} = \sqrt{25 + \frac{400}{9}} = \sqrt{\frac{225}{9} + \frac{400}{9}} = \sqrt{\frac{625}{9}} = \frac{25}{3} = 8 \frac{1}{3} \) см.

1. Две параллельные хорды длиной 16 см и 10 см проведены по разные стороны от центра окружности. Обозначим расстояния от центра окружности \( O \) до середины каждой хорды как \( KO = x \) и \( OH = 9 — x \), так как расстояние между хордами равно 9 см. Здесь \( K \) и \( H \) — середины хорд длиной 10 см и 16 см соответственно. Таким образом, точка \( O \) лежит между этими двумя хордами, и расстояния от центра до каждой хорды связаны через переменную \( x \).

2. Рассмотрим треугольник \( KDO \), где \( KD \) — половина хорды длиной 10 см, то есть \( KD = 5 \) см. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника \( KDO \) справедливо равенство \( OD^2 = AK^2 + KO^2 \), где \( OD \) — радиус окружности. Подставляя значения, получаем \( OD^2 = 25 + x^2 \). Аналогично для треугольника \( COH \), где \( CH = 8 \) см (половина хорды длиной 16 см), имеем \( OD^2 = CH^2 + OH^2 = 64 + (9 — x)^2 \).

3. Так как обе хорды принадлежат одной окружности, радиус \( OD \) одинаков для обоих треугольников. Приравниваем выражения: \( 25 + x^2 = 64 + (9 — x)^2 \). Раскроем квадрат: \( 25 + x^2 = 64 + 81 — 18x + x^2 \). Сокращаем одинаковые члены \( x^2 \): \( 25 = 145 — 18x \). Переносим слагаемые и решаем уравнение: \( 18x = 120 \), откуда \( x = \frac{120}{18} = \frac{20}{3} \). Подставляем найденное \( x \) в формулу для радиуса: \( OD = \sqrt{25 + \left(\frac{20}{3}\right)^2} = \sqrt{25 + \frac{400}{9}} = \sqrt{\frac{225}{9} + \frac{400}{9}} = \sqrt{\frac{625}{9}} = \frac{25}{3} = 8 \frac{1}{3} \) см. Таким образом, радиус окружности равен \( 8 \frac{1}{3} \) см.