ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 1.9 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) расположен в прямоугольной системе координат так, как показано на рисунке 1.8. Точка \(A\) имеет координаты \((1; -1; 0)\). Найдите координаты остальных вершин куба.

Координаты точки \(A = (1; -1; 0)\).

Тогда координаты остальных вершин куба:

\(D = (1; 1; 0)\) — смещение вдоль оси \(y\) на 2.

\(C = (-1; 1; 0)\) — смещение вдоль оси \(x\) на -2 от \(D\).

\(B = (1; -1; 0)\) — исходная точка \(A\).

\(A_1 = (1; -1; 1)\) — смещение вдоль оси \(z\) на 1 от \(A\).

\(D_1 = (1; 1; 1)\) — смещение вдоль оси \(z\) на 1 от \(D\).

\(B_1 = (1; -1; 1)\) — смещение вдоль оси \(z\) на 1 от \(B\).

\(C_1 = (-1; 1; 1)\) — смещение вдоль оси \(z\) на 1 от \(C\).

1. Координаты точек куба определяются исходя из того, что ребра куба параллельны осям координат, а длина ребра равна 2 единицам. В условии дана точка \(D\) с координатами \( (1; 1; 0) \). От этой точки можно определить остальные вершины, учитывая, что куб расположен в пространстве так, что его ребра направлены вдоль осей \(x\), \(y\) и \(z\). Точка \(C\) имеет координаты \( (-1; 1; 0) \), что соответствует смещению на 2 единицы в отрицательном направлении по оси \(x\) от точки \(D\). Точка \(B\) — \( (1; -1; 0) \), это смещение на 2 единицы по оси \(y\) от точки \(D\) в отрицательном направлении. Таким образом, основание куба лежит в плоскости \(z=0\) и образовано четырьмя точками: \(D\), \(C\), \(B\) и \(A\), где \(A\) совпадает с \(B\) по координате \(z\).

2. Верхние вершины куба находятся на том же уровне по осям \(x\) и \(y\), но с координатой \(z=1\), так как ребро куба по оси \(z\) равно 1. Точка \(A_1\) имеет координаты \( (1; -1; 1) \), что является смещением точки \(B\) вверх на 1 единицу по оси \(z\). Аналогично, точка \(D_1\) — \( (1; 1; 1) \), смещение точки \(D\) по оси \(z\) на 1. Точка \(B_1\) совпадает с \(A_1\) по координатам, то есть \( (1; -1; 1) \). Точка \(C_1\) — \( (-1; 1; 1) \), смещение точки \(C\) вверх на 1 по оси \(z\). Таким образом, верхняя грань куба образована точками \(A_1\), \(D_1\), \(B_1\) и \(C_1\).

3. В итоге, все вершины куба имеют координаты: \(D (1; 1; 0)\), \(C (-1; 1; 0)\), \(B (1; -1; 0)\), \(A (1; -1; 0)\) — нижняя грань, и \(A_1 (1; -1; 1)\), \(D_1 (1; 1; 1)\), \(B_1 (1; -1; 1)\), \(C_1 (-1; 1; 1)\) — верхняя грань. Это соответствует кубу со стороной длины 2, ориентированному вдоль осей координат, где разница по каждой координате между соседними вершинами равна 2 для осей \(x\) и \(y\), и 1 для оси \(z\). Такой подход позволяет однозначно определить положение всех вершин куба в трехмерном пространстве.