ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 10.1 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Точка \(M\) — вершина конуса, точка \(O\) — центр его основания. Радиус основания конуса равен 18 см. На отрезке \(MO\) отмечена точка \(K\) так, что \(MK : KO = 4 : 5\). Через точку \(K\) проведена плоскость, параллельная основанию конуса. Найдите площадь образовавшегося сечения конуса.

Длина \(MO = 18 + 5 = 23\) см.

\(MK : KO = 4 : 5\), значит \(MK = \frac{4}{9} MO = \frac{4}{9} \times 23 = \frac{92}{9}\) см.

Сечение параллельно основанию, радиус сечения: \(r_1 = \frac{4}{9} \times 18 = 8\) см.

Площадь сечения: \(S = \pi r_1^2 = \pi \times 8^2 = 64\pi\) см\(^2\).

1. Пусть \(MO\) — высота конуса, \(O\) — центр основания, \(M\) — вершина. Радиус основания конуса \(R = 18\) см. На \(MO\) выбрана точка \(K\) так, что \(MK : KO = 4 : 5\). Значит, вся высота \(MO\) делится на части \(MK\) и \(KO\), причём \(MK = \frac{4}{4+5} \times MO = \frac{4}{9} MO\), а \(KO = \frac{5}{9} MO\).

2. Плоскость, проходящая через точку \(K\) параллельно основанию конуса, пересекает конус, образуя сечение, которое также является кругом. Радиус этого круга пропорционален расстоянию от вершины конуса, то есть \(r_1 = \frac{MK}{MO} \times R = \frac{4}{9} \times 18 = 8\) см. Это следует из подобия треугольников \(MAO\) и \(KPO\), где \(P\) — точка пересечения сечения с осью конуса.

3. Площадь этого сечения равна площади круга с радиусом \(8\) см, то есть \(S = \pi r_1^2 = \pi \times 8^2 = 64\pi\) см\(^2\). Таким образом, искомая площадь сечения конуса, проходящего через точку \(K\) параллельно основанию, составляет \(64\pi\) см\(^2\).