ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 10.10 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Высота конуса равна \(h\). На каком расстоянии от вершины конуса следует провести плоскость, перпендикулярную высоте конуса, чтобы площадь образовавшегося сечения конуса была в 3 раза меньше площади его основания?

Площадь сечения конуса, проведённого на высоте \(x\) от вершины, относится к площади основания как квадрат отношения радиусов: \(\left(\frac{x}{h}\right)^2\). Пусть площадь сечения в 3 раза меньше площади основания: \(\left(\frac{x}{h}\right)^2 = \frac{1}{3}\).

Тогда \(x = h \frac{1}{\sqrt{3}}\).

Расстояние от вершины: \(h — x = h — h \frac{1}{\sqrt{3}} = h\left(1 — \frac{1}{\sqrt{3}}\right)\).

Приведём к общему знаменателю:

\(h\left(1 — \frac{1}{\sqrt{3}}\right) = h \frac{\sqrt{3} — 1}{\sqrt{3}}\).

Рационализируем знаменатель:

\(h \frac{\sqrt{3} — 1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = h \frac{3 — \sqrt{3}}{3}\).

Ответ: \(p = \frac{h \sqrt{3}}{3}\).

1. Пусть высота конуса равна \(h\), а радиус основания — \(R\). Если провести плоскость, перпендикулярную высоте конуса, на расстоянии \(p\) от вершины, то образуется сечение, которое также является кругом. Радиус этого сечения будет пропорционален расстоянию от вершины: \(r = \frac{p}{h} R\). Площадь основания конуса равна \(S_{\text{осн}} = \pi R^{2}\), а площадь сечения, проведённого на высоте \(p\), равна \(S_{\text{сеч}} = \pi r^{2} = \pi \left(\frac{p}{h} R\right)^{2} = \pi R^{2} \frac{p^{2}}{h^{2}}\).

2. По условию задачи, площадь сечения должна быть в 3 раза меньше площади основания, то есть \(S_{\text{сеч}} = \frac{1}{3} S_{\text{осн}}\). Подставляем выражения: \(\pi R^{2} \frac{p^{2}}{h^{2}} = \frac{1}{3} \pi R^{2}\). Сокращаем на \(\pi R^{2}\) (так как они не равны нулю): \(\frac{p^{2}}{h^{2}} = \frac{1}{3}\). Отсюда находим \(p\): \(p^{2} = \frac{h^{2}}{3}\), значит \(p = \frac{h}{\sqrt{3}}\).

3. Требуется найти расстояние от вершины конуса до плоскости сечения. Это и есть \(p\), который мы нашли выше. Чтобы привести ответ к виду, как на фото, рационализируем знаменатель: \(p = \frac{h}{\sqrt{3}} = \frac{h \sqrt{3}}{3}\). Таким образом, расстояние от вершины конуса до плоскости сечения, при котором площадь сечения будет в 3 раза меньше площади основания, равно \(p = \frac{h \sqrt{3}}{3}\).