ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 10.11 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Площади оснований усечённого конуса равны 4 см\(^2\) и 16 см\(^2\). Через середину высоты усечённого конуса проведена плоскость, параллельная его основаниям. Найдите площадь образовавшегося сечения усечённого конуса.

Пусть площади оснований усечённого конуса: \( S_1 = 4 \) см\(^2\), \( S_2 = 16 \) см\(^2\).

Радиусы оснований: \( r_1 = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \) см, \( r_2 = \frac{4}{\sqrt{\pi}} \) см.

Через середину высоты усечённого конуса проведена плоскость, параллельная основаниям. Радиус сечения: \( r_3 = \frac{r_1 + r_2}{2} = \frac{2}{\sqrt{\pi}} + \frac{4}{\sqrt{\pi}} \) делим на 2, получаем \( r_3 = \frac{3}{\sqrt{\pi}} \) см.

Площадь сечения: \( S_3 = \pi r_3^2 = \pi \left( \frac{3}{\sqrt{\pi}} \right)^2 = \pi \cdot \frac{9}{\pi} = 9 \) см\(^2\).

1. Пусть площади оснований усечённого конуса равны \( S_1 = 4 \) см\( ^2 \) и \( S_2 = 16 \) см\( ^2 \). Радиусы оснований можно найти из формулы площади круга: \( S = \pi r^2 \). Тогда для первого основания: \( r_1^2 = \frac{S_1}{\pi} = \frac{4}{\pi} \), значит \( r_1 = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \) см. Для второго основания: \( r_2^2 = \frac{S_2}{\pi} = \frac{16}{\pi} \), значит \( r_2 = \frac{4}{\sqrt{\pi}} \) см.

2. Плоскость проходит через середину высоты усечённого конуса и параллельна основаниям. Радиус сечения, проходящего через середину высоты, находится как среднее арифметическое радиусов оснований: \( r_3 = \frac{r_1 + r_2}{2} \). Подставляем значения: \( r_3 = \frac{\frac{2}{\sqrt{\pi}} + \frac{4}{\sqrt{\pi}}}{2} = \frac{6}{2\sqrt{\pi}} = \frac{3}{\sqrt{\pi}} \) см.

3. Теперь найдём площадь сечения, используя формулу площади круга: \( S_3 = \pi r_3^2 \). Подставляем найденный радиус: \( S_3 = \pi \left( \frac{3}{\sqrt{\pi}} \right)^2 = \pi \cdot \frac{9}{\pi} = 9 \) см\( ^2 \). Таким образом, площадь искомого сечения, проходящего через середину высоты и параллельного основаниям, равна \( 9 \) см\( ^2 \).