ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 10.12 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Точка \(O\) — центр большего основания усечённого конуса, точка \(O_1\) — центр его меньшего основания, точка \(O_2\) — середина отрезка \(OO_1\). Площадь большего основания равна \(4\pi\) см\(^2\), а меньшего — \(\pi\) см\(^2\). Через точку \(O_2\) проведена плоскость, перпендикулярная прямой \(OO_1\). Найдите отношение площади боковой поверхности усечённого конуса с высотой \(O_1O_2\) к площади боковой поверхности усечённого конуса с высотой \(OO_2\).

Площадь боковой поверхности усечённого конуса:
\( S_{\text{бок}} = \pi (R_1 + R_2) l \), где \( R_1, R_2 \) — радиусы оснований, \( l \) — образующая.

Площади оснований:
\( \pi R_1^2 = 4\pi \Rightarrow R_1 = 2 \)
\( \pi R_2^2 = \pi \Rightarrow R_2 = 1 \)

Высота \( O_1O_2 = \frac{h}{2} \), высота \( OO_2 = \frac{h}{2} \).

Образующая для каждого конуса одинакова, так как сечение проходит через середину высоты.

Отношение площадей боковых поверхностей:
\( \frac{S_{\text{бок},\,1}}{S_{\text{бок},\,2}} = \frac{5}{7} \)

1. Пусть радиус большего основания усечённого конуса равен \( R_1 \), а меньшего — \( R_2 \). По условию задачи площади оснований равны \( 4\pi \) и \( \pi \). Следовательно, \( \pi R_1^2 = 4\pi \), откуда \( R_1 = 2 \), и \( \pi R_2^2 = \pi \), откуда \( R_2 = 1 \). Высота полного конуса обозначим как \( h \). Точка \( O_2 \) — середина отрезка \( OO_1 \), то есть делит высоту между центрами оснований пополам.

2. Рассмотрим два усечённых конуса: первый с высотой \( O_1O_2 \), второй с высотой \( OO_2 \). Высота между основаниями полного конуса равна \( h \), значит, высота между \( O_1 \) и \( O_2 \) равна \( \frac{h}{2} \), и между \( O \) и \( O_2 \) также равна \( \frac{h}{2} \). При этом радиусы оснований для каждого случая определяются пропорционально расстоянию от вершины конуса. Для первого конуса (высота \( O_1O_2 \)) радиусы оснований — это радиус меньшего основания \( R_2 = 1 \) и средний радиус \( r_2 \), который находится на середине между \( R_1 \) и \( R_2 \). Так как радиус меняется линейно вдоль высоты, средний радиус \( r_2 = \frac{R_1 + R_2}{2} = \frac{2 + 1}{2} = 1.5 \). Для второго конуса (высота \( OO_2 \)) радиусы оснований — радиус большего основания \( R_1 = 2 \) и тот же средний радиус \( r_2 = 1.5 \).

3. Площадь боковой поверхности усечённого конуса вычисляется по формуле \( S_{\text{бок}} = \pi (R_{\text{верх}} + R_{\text{низ}}) l \), где \( l \) — образующая, одинаковая для обоих конусов, поскольку высота и положение сечения симметричны относительно основания. Для первого конуса: \( S_{\text{бок},1} = \pi (1 + 1.5) l = \pi \cdot 2.5 l \). Для второго конуса: \( S_{\text{бок},2} = \pi (2 + 1.5) l = \pi \cdot 3.5 l \). Отношение площадей боковых поверхностей: \( \frac{S_{\text{бок},1}}{S_{\text{бок},2}} = \frac{2.5}{3.5} = \frac{5}{7} \).