ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 10.13 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Радиус большего основания усечённого конуса равен \(R\), радиус меньшего основания — \(r\), а угол между образующей и плоскостью большего основания равен \(\alpha\). Найдите площадь осевого сечения усечённого конуса.

Площадь осевого сечения усечённого конуса равна:

Стороны основания: \(BC = 2r\), \(AD = 2R\).

Расстояние между основаниями: \(ed = \frac{2R — 2r}{2} = R — r\).

Высота сечения: \(BH = (R — r) \cdot \tan\alpha\).

Площадь трапеции: \(S_{ABCD} = \frac{BC + AD}{2} \cdot BH = \frac{2r + 2R}{2} \cdot (R — r)\tan\alpha = (R + r)(R — r)\tan\alpha =\)
\(= (R^2 — r^2)\tan\alpha\).

1. Пусть радиусы оснований усечённого конуса равны \(R\) (большее основание) и \(r\) (меньшее основание). Осевое сечение — это трапеция, у которой большие основания равны диаметрам оснований конуса: \(AD = 2R\), \(BC = 2r\).

2. Высота трапеции равна расстоянию между основаниями, которое выражается через разность радиусов и угол наклона образующей: пусть \(ed = \frac{2R — 2r}{2} = R — r\). По определению, высота трапеции \(BH\) находится по формуле \(BH = (R — r) \cdot \tan\alpha\), где \(\alpha\) — угол между образующей и плоскостью большего основания.

3. Площадь трапеции вычисляется по формуле: \(S_{ABCD} = \frac{AD + BC}{2} \cdot BH\). Подставляем значения: \(S_{ABCD} = \frac{2R + 2r}{2} \cdot (R — r)\tan\alpha = (R + r)(R — r)\tan\alpha\). Раскрываем скобки: \(S_{ABCD} = (R^2 — r^2)\tan\alpha\).