ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 10.15 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

В усечённом конусе проведено осевое сечение \(CC_1D_1D\) и по разные стороны от него на основаниях конуса выбраны точки \(A\) и \(B\) (рис. 10.10).

Постройте точку пересечения прямой \(AB\) с плоскостью \(CC_1D_1\).

Плоскость \(CC_1D_1\) проходит через осевое сечение усечённого конуса. Прямая \(AB\) соединяет точки на разных основаниях, находящиеся по разные стороны от осевого сечения.

Чтобы найти точку пересечения, опустим перпендикуляры из точек \(A\) и \(B\) на осевое сечение \(CC_1D_1D\). Прямая \(AB\) пересечёт осевое сечение в точке, где соединяются эти перпендикуляры, то есть в точке \(O\), являющейся проекцией центра основания на осевое сечение.

Ответ: точка пересечения — это точка \(O\), центр основания, лежащий на осевом сечении \(CC_1D_1D\).

1. Рассмотрим усечённый конус, у которого осевое сечение — четырёхугольник \(CC_1D_1D\), проходящий через ось конуса. Точки \(A\) и \(B\) выбраны на разных основаниях конуса, причём они лежат по разные стороны от осевого сечения. Прямая \(AB\) соединяет эти точки и проходит через внутреннюю часть конуса, пересекает плоскость осевого сечения. Плоскость \(CC_1D_1\) — это часть осевого сечения, проходящая через точки верхнего и нижнего основания.

2. Для поиска точки пересечения прямой \(AB\) с плоскостью \(CC_1D_1\) рассмотрим проекции. Центры оснований конуса обозначим как \(O_1\) (верхнее) и \(O\) (нижнее). Осевое сечение делит основания на две равные части. Пусть точка \(A\) лежит на нижнем основании, а точка \(B\) — на верхнем основании, обе вне плоскости осевого сечения. Прямая \(AB\) проходит через внутреннюю часть конуса, а её пересечение с плоскостью \(CC_1D_1\) будет находиться на линии, соединяющей \(A\) и \(B\), в той точке, где эта линия пересекает осевое сечение.

3. Для построения точки пересечения можно воспользоваться следующим методом. На основании конуса проведём диаметр, соответствующий осевому сечению. Затем из точки \(A\) проведём прямую к точке \(B\). Точка пересечения этой прямой с осевым сечением будет лежать между основаниями, на линии, соединяющей центры оснований. В результате точка пересечения прямой \(AB\) с плоскостью \(CC_1D_1\) будет совпадать с точкой \(O\), которая является центром нижнего основания и одновременно лежит на осевом сечении. Таким образом, искомая точка — \(O\).