ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 10.16 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

В усечённом конусе проведено осевое сечение \(MM_1N_1N\) и по разные стороны от него на окружностях оснований выбраны точки \(A\) и \(B\) (рис. 10.11).

Постройте точку пересечения прямой \(AB\) с плоскостью \(MM_1N_1\).

1. Проведём через точку \(A\) прямую, параллельную \(MM_1\), до пересечения с окружностью верхнего основания. Обозначим точку пересечения как \(C\).
2. Проведём через точку \(B\) прямую, параллельную \(N_1N\), до пересечения с окружностью нижнего основания. Обозначим точку пересечения как \(D\).
3. Точки \(C\) и \(D\) лежат в плоскости осевого сечения.
4. Прямая \(CD\) — это пересечение плоскости осевого сечения с плоскостью, проходящей через \(A\) и \(B\).
5. Точка пересечения прямой \(AB\) с прямой \(CD\) и будет искомой точкой пересечения прямой \(AB\) с плоскостью \(MM_1N_1N\).

Ответ: точка пересечения прямой \(AB\) с плоскостью \(MM_1N_1N\) находится на пересечении прямой \(AB\) и прямой \(CD\), где \(C\) и \(D\) — точки, построенные выше.

1. Пусть усечённый конус пересечён осевым сечением \(MM_1N_1N\), где точки \(M\) и \(M_1\) лежат на верхнем основании, а \(N\) и \(N_1\) — на нижнем основании. На окружностях оснований выбраны точки \(A\) и \(B\) так, что они расположены по разные стороны от осевого сечения. Прямая \(AB\) проходит через внутренность усечённого конуса, и задача — найти точку её пересечения с плоскостью \(MM_1N_1N\).

2. Для нахождения точки пересечения, рассмотрим проекцию задачи на плоскость основания. Осевое сечение \(MM_1N_1N\) проходит через ось конуса, а точки \(A\) и \(B\) лежат вне этой плоскости. Проведём через точку \(A\) прямую, параллельную \(MM_1\), до пересечения с верхним основанием, обозначим полученную точку как \(C\). Аналогично, через точку \(B\) проведём прямую, параллельную \(N_1N\), до пересечения с нижним основанием, получим точку \(D\). Точки \(C\) и \(D\) принадлежат плоскости осевого сечения.

3. Прямая \(CD\) лежит в плоскости осевого сечения и пересекает прямую \(AB\) в единственной точке, так как эти две прямые не параллельны и находятся в разных плоскостях. Точка пересечения прямой \(AB\) и прямой \(CD\) и будет искомой точкой пересечения прямой \(AB\) с плоскостью \(MM_1N_1N\). Таким образом, чтобы построить эту точку, требуется провести через \(A\) и \(B\) параллели к сторонам осевого сечения, найти точки \(C\) и \(D\), затем соединить их и найти точку пересечения с \(AB\).