ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 10.17 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Высота усечённого конуса равна 6 см, а угол между его образующей и плоскостью большего основания составляет \(60^\circ\). Диагонали осевого сечения усечённого конуса перпендикулярны. Найдите площадь боковой поверхности усечённого конуса.

Высота усечённого конуса \( h = 6 \).

Угол между образующей и плоскостью основания \( \alpha = 60^\circ \).

Диагонали осевого сечения перпендикулярны, значит, сумма оснований \( BC + AD = 12 \), а каждое основание \( \frac{BC + AD}{2} = 6 \).

Образующая \( l = \frac{h}{\sin 60^\circ} = \frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 4\sqrt{3} \).

Площадь боковой поверхности: \( S = \pi (r_1 + r_2) l = \pi \cdot 6 \cdot 4\sqrt{3} = 24\pi\sqrt{3} \).

Высота усечённого конуса равна \( h = 6 \) см. По условию задачи угол между образующей конуса и плоскостью большего основания составляет \( 60^\circ \). Это значит, что если провести осевое сечение, то образующая будет наклонена под углом \( 60^\circ \) к основанию. В таком случае длина образующей можно найти по формуле: \( l = \frac{h}{\sin 60^\circ} \). Так как \( \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \), получаем \( l = \frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{6 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{12}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3} \) см.

Осевое сечение усечённого конуса представляет собой трапецию, диагонали которой перпендикулярны. По свойству такой трапеции сумма оснований равна длине высоты, умноженной на 2: \( BC + AD = 2h = 12 \) см. Тогда каждое основание равно \( \frac{BC + AD}{2} = \frac{12}{2} = 6 \) см. Это означает, что радиусы оснований \( r_1 \) и \( r_2 \) равны 6 см, так как осевое сечение проходит через центр основания и длина основания равна диаметру, а радиус — половина диаметра.

Площадь боковой поверхности усечённого конуса вычисляется по формуле: \( S = \pi (r_1 + r_2) l \), где \( r_1 \) и \( r_2 \) — радиусы оснований, а \( l \) — длина образующей. Подставляем значения: \( S = \pi (6 + 6) \cdot 4\sqrt{3} = \pi \cdot 12 \cdot 4\sqrt{3} = 48\pi\sqrt{3} \). Однако, в решении на фото использовано \( S = \pi \cdot 6 \cdot 4\sqrt{3} = 24\pi\sqrt{3} \), что означает, что радиусы оснований равны 3 см (так как основания трапеции — это диаметры, а радиусы — половина). Окончательно, площадь боковой поверхности усечённого конуса равна \( 24\pi\sqrt{3} \) см\(^2\).