ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 10.18 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Образующая усечённого конуса равна \(t\) и составляет с плоскостью большего основания угол \(\alpha\), а диагональ осевого сечения перпендикулярна образующей. Найдите радиусы оснований усечённого конуса.

Пусть \(m\) — высота отсека, \(t\) — образующая, \(\alpha\) — угол между образующей и плоскостью основания.

По рисунку:

\(\cos \alpha = \frac{m}{OP}\)

\(OP = \frac{m}{\cos \alpha}\)

\(BO = \frac{m}{2 \cos \alpha}\)

Диагональ осевого сечения перпендикулярна образующей, тогда:

\(BO = -\frac{m \cos 2\alpha}{2 \cos \alpha}\)

1. Пусть усечённый конус имеет высоту отсечения \(m\), а образующая равна \(t\) и составляет угол \(\alpha\) с плоскостью большего основания. В осевом сечении из точки \(O\) (центра основания) к точке \(C\) (вершине боковой стороны) проведена образующая \(OC\), а из точки \(A\) — диагональ осевого сечения \(AD\), которая перпендикулярна \(OC\). Обозначим расстояние от центра основания до точки пересечения диагонали с боковой стороной через \(OP\).

2. Из треугольника \(OCP\) по определению косинуса угла \(\alpha\) имеем: \(\cos \alpha = \frac{m}{OP}\). Отсюда выражаем \(OP = \frac{m}{\cos \alpha}\). Это расстояние является проекцией высоты \(m\) на направление, составляющее угол \(\alpha\) с основанием, что позволяет связать параметры конуса через тригонометрическую функцию.

3. Радиус большего основания \(BO\) равен половине длины проекции, так как в осевом сечении эта проекция делится пополам: \(BO = \frac{m}{2 \cos \alpha}\). Но учитывая, что диагональ осевого сечения перпендикулярна образующей, используем дополнительное условие: \(BO = -\frac{m \cos 2\alpha}{2 \cos \alpha}\). Это выражение получено через тригонометрические преобразования, используя формулу двойного угла для косинуса и условия перпендикулярности.