ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 10.19 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Угол между образующей усечённого конуса и плоскостью большего основания равен \(\alpha\), а угол между диагональю осевого сечения и этой плоскостью равен \(\beta\). Найдите радиусы оснований усечённого конуса, если его высота равна \(h\).

Рассмотрим осевое сечение усечённого конуса. Радиусы оснований выражаются через высоту \(h\) и углы \(\alpha\) и \(\beta\), используя свойства прямоугольных треугольников.

Радиус большего основания: \(r_1 = \frac{h(\cot \beta + \cot \alpha)}{2}\).

Радиус меньшего основания: \(r_2 = \frac{h(\cot \beta — \cot \alpha)}{2}\).

Для нахождения радиусов оснований усечённого конуса рассмотрим его осевое сечение, которое представляет собой трапецию. Пусть высота усечённого конуса равна \(h\), а углы между боковой образующей и основаниями — \(\alpha\) и \(\beta\). В таком сечении видно, что расстояния от вершин трапеции до точек пересечения образующих с основаниями определяются через катеты прямоугольных треугольников, образованных высотой \(h\) и радиусами оснований. Если рассмотреть эти треугольники, то радиус большего основания выражается как \(h \cot \beta\), а радиус меньшего — как \(h \cot \alpha\). Однако, учитывая симметрию и расположение усечённого конуса, сами радиусы будут равны полусумме и полуразности этих выражений.

В результате, радиус большего основания усечённого конуса находится по формуле \(r_1 = \frac{h(\cot \beta + \cot \alpha)}{2}\), где \(\cot\) — это котангенс соответствующего угла. Это выражение получается из геометрических соображений: если провести высоту из вершины к основанию, то расстояние от центра к краю основания определяется как \(h \cot\) соответствующего угла, а затем с помощью свойств трапеции эти расстояния складываются и делятся пополам.

Аналогично, радиус меньшего основания выражается как \(r_2 = \frac{h(\cot \beta — \cot \alpha)}{2}\). Здесь используется разность котангенсов, поскольку меньший радиус определяется как разность расстояний, связанных с углами при основаниях трапеции. Таким образом, обе формулы позволяют однозначно вычислить радиусы оснований усечённого конуса через высоту \(h\) и углы \(\alpha\) и \(\beta\), что удобно для решения задач на геометрию усечённых тел.